Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица определяет устойчивость по коэффициентам характеристического уравнения замкнутой системы автоматического управления:

.

Из коэффициентов характеристического уравнения составляется матрица, вид которой показан на рис. 8.

Рис. 8. Формирование определителей Гурвица

Матрица, показанная на рис. 8, формируется следующим образом:

1. По диагонали от верхнего левого угла до нижнего правого выписываются коэффициенты от до .

2. в каждом столбце вверх и вниз от диагонального элемента матрицы выписываются подряд остальные коэффициенты так, чтобы их индексы возрастали снизу вверх.

3. При этом коэффициенты, выходящие за формат матрицы, пропадают. а элементы матрицы, не определенные каким-либо из коэффициентов, принимаются нулевыми.

Определители, составленные из этой матрицы так, как показано на рис. 8 пунктирными линиями, называются определителями Гурвица.

Критерий устойчивости Гурвица. Для того, чтобы все корни характеристического уравнения были левыми, необходимо и достаточно, чтобы при определители Гурвица:

, были положительны.

Применение критерия Гурвица к характеристическим уравнениям 1-го, 2-го, 3-го порядка дает следующие результаты:

1. Система 1-го порядка имеет характеристическое уравнение

,

условие устойчивости

2. Система 2-го порядка имеет характеристическое уравнение

,

условие устойчивости

3. Система 3-го порядка имеет характеристическое уравнение

,

условие устойчивости

Следует заметить, что для устойчивости систем 1-го и 2-го порядков необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительны. Для систем более высоких порядков положительность коэффициентов является необходимым. но не достаточным условием устойчивости.

Критерий устойчивости Гурвица позволяет определить параметры систем автоматического управления, обеспечивающие устойчивые режимы работы.