Частные уравнения регрессии

На основе линейного уравнения множественной регрессии:

могут быть найдены частные уравнения регрессии, которые связывают зависимую переменную Y с объясняющей переменной Xj при закреплении остальных объясняющих переменных на среднем уровне. Частные уравнения регрессии имеют следующий вид:

При подстановке в эти уравнения средних значений соответствующих объясняющих переменных они принимают вид уравнений парной линейной регрессии. Оценки моделей примут вид:

где свободные коэффициенты равны:

В отличие от парной регрессии частные уравнения регрессии характеризуют изолированное влияние объясняющей переменной на зависимую, ибо остальные объясняющие переменные модели закреплены на неизменном уровне. Влияние остальных объясняющих переменных присоединено к свободным коэффициентам Bj. Это позволяет определить частные коэффициенты эластичности:

Резюме
Множественная линейная регрессия является обобщением парной линейной регрессии на несколько объясняющих переменных. При выполнении предпосылок Гаусса-Маркова оценки параметров уравнения множественной линейной регрессии, полученные методом наименьших квадратов, обладают свойствами несмещенности, эффективности и состоятельности. Статистическая значимость коэффициентов и качество подбора уравнения проверяются с помощью распределений Стьюдента и Фишера. Коэффициент при объясняющей переменной показывает, на сколько единиц изменится зависимая переменная, если объясняющая вырастет на одну единицу при фиксированном значении остальных объясняющих переменных. В случае множественной регрессии дополнительно предполагается отсутствие мультиколлинеарности объясняющих переменных.