Методы оценивания коэффициентов линейной многофакторной регрессии

Коэффициенты регрессии многофакторной модели имеют следующий экономический смысл: прирост результата (y), приходящийся на единицу прироста j-го фактора при фиксированном значении других факторов.

В большинстве случаев компоненты множественной регрессии оцениваются с помощью МНК.

Для определения параметров множественной регрессии (1.1) с p факторами решают систему из (p+1) уравнений с (p+1) неизвестными.

Запишем минимизируемый функционал в матричной форме min

Дифференцируя данный функционал по , получаем систему обычных линейных уравнений

Оценки вектора b (значения коэффициентов регрессии) находятся по формулам

, где

X^T – транспонированная матрица

(X^TX)^-1 – обратная матрица к матрице X^T*X

y = b₀+b₁x₁+b₂x₂+ε – рассмотрим двухфакторное уравнение

min

Дифференцируем по b₀, b₁, b₂

Разрешая систему относительно b₀, b₁, b_2, получаем значения для определения коэффициентов b₀, b₁, b_2.

Для оценки параметров уравнения множественной регрессий применяют метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений y  a  b₁  x₁  b₂  x2  b_m  x_m  строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

Метод наименьших квадратов применим и к уравнению множественной регрессии в стандартизированном масштабе: t_y=β₁t_x1 +β₂t_x2+…+β_mt_xm+ε

Применяя МНК к уравнению множественной регрессии в стандартизированном масштабе, получим систему нормальных уравнений вида.

Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле

которые показывают на сколько процентов в среднем изменится результат, при изменении соответствующего фактора на 1%. Средние показатели эластичности можно сравнивать друг с другом и соответственно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.