Потенциальное векторное поле.
18.1.1. Определение потенциального поля. Векторное поле (M) называется потенциальным в области V, если существует такое скалярное поле , что (M) для . Поле называется потенциалом поля (M).
Свойства потенциального поля.
1. Потенциал определён с точностью до произвольной постоянной ().
2. Разность потенциалов в двух точках определена однозначно.
3. Если поле (M) потенциально, то линейный интеграл этого поля по любой кривой , целиком лежащей в V, определяется только начальной и конечной точками этой кривой, и не зависит от формы кривой. . Эта формула, как и в плоском случае, является обобщением формулы Ньютона-Лейбница для потенциального поля.
4. Циркуляция потенциального в области V поля по любому контуру, лежащему в V, равна нулю.
5. Векторная линия потенциального поля в каждой точке М ортогональна эквипотенциальной поверхности (т.е. поверхности уровня потенциала), проходящей через точку М.
6. Ротор потенциального векторного поля равен нулю:
|
|
.
Введём определение безвихревого поля: поле (M), ротор которого в каждой точке равен нулю, называется безвихревым.
Мы доказали, что потенциальное поле необходимо безвихрево. Дальше мы займёмся достаточными условиями потенциальности.