2015-05-18
2093
Теорема. Если область V и поле 
(M) удовлетворяют следующим условиям:
1. V - односвязная область;
2. Поле (M) - безвихрево (т.е. 
),,
то (M) - потенциальное в V поле.
Доказательство. Напомним определение односвязной области: область (на плоскости, в пространстве) называется односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не выходя при этом за пределы области. Нам при доказательстве теоремы придётся строить поверхности, натянутые на контуры; определение односвязности как раз гарантирует, что такие поверхности существуют, и ими могут служить поверхности, образующиеся при деформации контура в точку.
1. Докажем, что если выполняются условия теоремы, то линейный интеграл поля (M) по любой кривой 
, целиком лежащей в V, определяется только начальной и конечной точками этой кривой, и не зависит от её формы. Пусть ASB и ATB - два пути, соединяющие точки А и В. Вместе они образуют замкнутый контур ASBTA. Пусть 
- кусочно-гладкая поверхность, натянутая на этот контур. Тогда по формуле Стокса 
, так как 
. Но 
.
2. Докажем, что если мы фиксируем точку 
и возьмём 
, то 
, т.е. определённая таким образом функция 
действительно является потенциалом поля (M). Это доказательство полностью повторяет доказательство теоремы пункта 16.3.3.6. Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае, когда выполняются условия независимости от формы пути. Именно, требуется доказать, что 
. Действительно, пусть 
. Тогда 
,
(на 
) 
(по теореме о среднем) 
. Точка 
удовлетворяет условиям 
. Устремим 
, тогда 
, и 
.
Аналогично доказывается, что 
.
18.1.4. Нахождение потенциала. В предыдущем разделе мы доказали, что если выполняются условия потенциальности поля (M), то , где - фиксированная точка. Обычно, если в точке О (0,0,0) поле не имеет особенностей, то в качестве точки 
берётся именно эта точка; если в этой точке поле не определено, берётся другая точка. Интегрирование ведут по пути, состоящим из отрезков, параллельных координатным осям. В результате получим 
.
Пример. Доказать, что поле 
потенциально, и найти потенциал этого поля.
Решение. Мы будем доказывать, что это поле потенциально в любой односвязной области V, не содержащей точку О (0,0,0). Условие безвихревости поля :
в координатной форме сводится к равенствам 
, 
, 
. В нашем поле 
, 
, 
. Находим производные:
, 
; 
, 
; 
, 
. Потенциальность поля доказана.
Ищем потенциал. Интеграл вычисляем по изображённому на рисунке пути, отправляясь от точки М 0(0,0,1). 
. Если бы мы взяли в качестве точки М 0 другую точку М 1, то получили бы выражение, отличающееся на некоторую постоянную (более точно, на 
); поэтому 
.
