Задача 13

Могут ли следующие уравнения быть преобразованы в уравнения, линейные по параметрам?

а)

б)

в)

г)

Решение. Уравнения б) и г) не могут быть преобразованы в уравнения линейные по параметрам, т.е. они нелинейные по параметрам

А а) и в) могут, если прологарифмировать обе части уравнения.

а)

- уравнение линейное по параметрам

в)

- уравнение линейное по параметрам

Решение типовых задач:

Пример 1

По семи территориям Уральского района за 199Х г. известны значения двух признаков (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Район	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, у	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х
Удмуртская респ.	68,8	45,1
Свердловская обл.	61,2	59,0
Башкортостан	59,9	57,2
Челябинская обл.	56,7	61,8
Пермская обл.	55,0	58,8
Курганская обл.	54,3	47,2
Оренбургская обл.	49,3	55,2

Требуется:

1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:

а) линейной; б) степенной; в) показательной; г) равносторонней гиперболы.

2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и - критерий Фишера.

Решение: 1а. Для расчета параметров а и b линейной регрессии

решаем систему нормальных уравнений относительно: и :

По исходным данным рассчитываем ,

Таблица 1.2

	у	х	ух	х2	у2			Аi
	68,8	45,1	3102,88	2034,01	4733,44	61,3	7,5	10,9
	61,2	59,0	3610,80	3481,00	3745,44	56,5	4,7	7,7
	59,9	57,2	3426,28	3271,8f*	3588,01	57,1	2,8	4,7
	56,7	61,8	3504,06	3819,24	3214,89	55,5	1,2	2,1
	55,0	58,8	3234,00	3457,44	3025,00	56,5	-1.5	2,7
	54,3	47,2	2562,96	2227,84	2948,49	60,5	-6,2	11,4
	49,3	55Д		3047,04	2430,49	57,8	-8,5	17,2
Итого	405,2	384,3	22162,34	21338,41	23685,76	405,2	0,0	56,7
Среднее значение	57,89	54,90	3166,05	3048,34	3383,68			8,1
	5,74	5,86
	32,92	34,34

Уравнение регрессии: С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35 процентных пункта.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Связь умеренная, обратная.

Определим коэффициент детерминации:

Вариация результата на 12,7% объясняется вариацией факторах х. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения у_х. Найдем величину средней ошибки аппроксимации :

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,1%.

Рассчитаем F-критерий:

26.

Полученное значение указывает на необходимость принять гипотезу Н₀ о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи.

1б. Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

где Для расчетов используем данные табл. 1.3. Рассчитаем С и b:

Получим линейное уравнение:

Выполнив его потенцирование, получим:

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата . По ним рассчитаем показатели: тесноты связи - индекс корреляции р_ху и среднюю ошибку аппроксимации :

Характеристики степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.

Таблица 1.3

	Y	X	YX	Y2	X2
	1,8376	1,6542	3,0398	3,3768	2,7364	61,0	7,8	60,8	11,3
	1,7868	1,7709	3,1642	3,1927	3,1361	56,3	4,9	24,0	8,0
	1,7774	1,7574	3.1236	3,1592	3,0885	56,8	3,1	9,6	5,2
	1,7536	1,7910	3,1407	3,0751	3,2077	55,5	1,2	1,4	2,1
	1,7404	1,7694	3,0795	3,0290	3.1308	56,3	-1,3	1,7	2,4
	1,7348	1,6739	2,9039	3,0095	2,8019	60,2	-5,9	34,8	10,9
	1,6928	1,7419	2,9487	2,8656	3,0342	57,4	-8,1	65,6	16.4
Итого	12,3234	12,1587	21,4003	21,7078	21,1355	403,5	1,7	197,9	56.3
Среднее значение	1,7605	1,7370	3,0572	3,1011	3,0194			28,27	8,0
	0,0425	0,0484
	0,0018	0,0023

1в. Построению уравнения показательной кривой

предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

где

Для расчетов используем данные табл. 1.4.

Значения параметров регрессии А и В составили:

Получено линейное уравнение:

Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной форме:

Тесноту связи оценим через индекс корреляции :

­­­ Связь умеренная. , что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах. Показательная функция чуть хуже, чем степенная, она описывает изучаемую зависимость.

Таблица 1.4

	Y	x	Yx	Y2	X2				Ai
	1,8376	45,1	82,8758		2034,01	60,7	8,1	65,61	11,8
	1,7868	59,0	105,4212	3,1927	3481,00	56,4	4,8	23,04	7,8
	1,7774	57,2	101,6673	3,1592	3271,84	56,9	3,0	9,00	5,0
	1,7536	61,8		3,0751	3819,24	55,5	1,2	1,44	2,1
	1,7404	58,8		3,0290	3457,44	56,4	-1,4	1,96
	1,7348	47,2	81,8826	3,0095	2227,84	60,0	-5,7	32,49	10,5
	1,6928	55,2	93,4426	2,8656	3047,04	57,5	-8,2	67,24	16,6
Итого		384,3	675,9974	21,7078	21338,41	403,4	-1,8	200,78	56,3
Среднее значение	1,7605	54,9	96,5711.	3,1011				28,68.	8,0
	0,0425	5,86
	0,0018	34,3396

1г. Уравнение равносторонней гиперболы линеаризуется при замене: Тогда

Для расчетов используем данные таблицы 1.5.

Таблица 1.5

	y	z	yz	z2	y2				Ai
	68,8	0,0222	1,5255	0,000492	4733,44	61,8	7,0	49,00	10,2
	61,2	0,0169	1,0373	0,000287	3745,44	56,3	4,9	24,01	8,0
	59,9	0,0175	1,0472	0,000306	3588,01	56,9	3,0	9,00	5,0
	56,7	0,0162	0,9175	0,000262	3214,89	55,5	1,2	1,44	2,1
		0,0170		0,000289	3025,00	56,4	-1,4	1,96	2,5
	54,3	0,0212	1,1504	0,000449	2948,49	60,8	-6,5	42,25	12,0
	49,3	0,0181	0,8931	0,000328	2430,49	57,5	-8,2	67,24	16,6
Итого	405,2	0,1291	7,5064	0,002413	23685,76	405,2	0,0	194,90	56,5
Среднее значение	57,9	0,0184	1,0723	0,000345	3383,68			27,84	8,1
	5,74	0,002145
	32,9476	0,000005

Значения параметров регрессии а и b составили:

Получено уравнение:

Индекс корреляции: Коэффициент аппроксимации: . Для уравнения равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи: (по сравнению с линейной, степенной и показательной регрессиями), остается на допустимом уровне:

2.

где F_табл=6,6>F_факт, а=0,05.

где

Следовательно, принимается гипотеза Н₀ о статистически незначимых параметрах этого уравнения. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

Пример 2

По территориям региона приводятся данные за 1998 г. (табл. 1.6).

Таблица 1.6

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., х	Среднедневная заработная плата, руб., у

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии у от х.

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Выполнить прогноз заработной платы.у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х, составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение: 1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу (табл. 1.7).

Таблица 1.7

	x	у	ух	х2	у2
							-16	12,0
							-4	2,7
							-23	17,2
								2,6
								1.9
								10,8
								0,0
								0,0
								5,3
								3,1
							-10	5,8
Итого								68,8
Среднее значение	85,6	155,8	13484,0	7492,3	24531,4			5,7
	12,95	16,53
	167,7	273,4

Получено уравнение регрессии:

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

Это означает, что 52% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией факторах - среднедушевого прожиточного минимума. Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8-1 0%.

3. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н₀ о статистически незначимом отличии показателей от нуля: .

T_табл для числа степеней свободы и составит 2,23.

Определим случайные ошибки :

Тогда

Фактические значения t -статистики превосходят табличные значения:

поэтому гипотеза Н₀ отклоняется, т.е. и не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительный интервал для a и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные интервалы:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов говорит о том, что с вероятностью параметры a и b, являются статистически значимыми.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: тыс. руб., тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит:

тыс. руб.

5. Ошибка прогноза составит с учетом e:

тыс. руб.

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза:

руб.; руб.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надежным , но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,95 раза:

Пример 3

По группе предприятий, производящих однородную продукцию, известно, как зависит себестоимость единицы продукции у от факторов, приведенных в табл. 1.8.

Таблица 1.8

Признак-фактор	Уравнение парной регрессии	Среднее значение фактора
Объем производства, млн руб., х1
Трудоемкость единицы продукции, чел.-час, х2
Оптовая цена за 1 т энергоносителя, млн. руб., х3
Доля прибыли, изымаемой государством, %, х4

Требуется:

1. Определить с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат.

2.Ранжировать факторы по силе влияния.

Решение

1. Для уравнения равносторонней гиперболы

Для уравнения прямой

Для уравнения степенной зависимости

Для уравнения показательной зависимости :

2. Сравнивая значения , ранжируем x_j по силе их влияния на себестоимость единицы продукции:

а) ; в) ;

б) ; г) .

Для формирования себестоимости продукции группы предприятий первоочередное значение имеют цены на энергоносители; в гораздо меньшей степени влияют трудоемкость продукции и отчисляемая часть прибыли. Фактором снижения себестоимости выступает размер производства: с ростом его на 1% себестоимость единицы продукции снижается на -0,97%.

Пример 4

Зависимость потребления продукта А от среднедушевого дохода по данным 20 семей характеризуется следующим образом:

уравнение регрессии ;

индекс корреляции ;

остаточная дисперсия .

Требуется:

Провести дисперсионный анализ полученных результатов.

Решение

Результаты дисперсионного анализа приведены в табл. 1.9.

Таблица 1.9

Вариация результата у	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений, S	Дисперсия на одну степень свободы, D	Fфакт	Fтабл
Общая		6,316	–	–	–
Факторная		5,116	5,116	76,7	4,41
Остаточная		1,200	0,0667	–	–

В силу того что F_факт = 76,7 > F_табл = 4,4, гипотеза о случайности различий факторной и остаточной дисперсий отклоняется. Эти различия существенны, статистически значимы, уравнение надежно, значимо, показатель тесноты связи надежен и отражает устойчивую зависимость потребления продукта А от среднедушевого дохода.