Продуктивные модели

В экономике существует баланс между отдельными отраслями. Рассмотрим простой вариант модели межотраслевого баланса – модель «затраты-выпуск».

Пусть имеется n различных отраслей, каждая из которых производит свой продукт и нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Введем следующие обозначения:

x_i ‑ общий объем продукции отрасли i за плановый год ‑ так называемый валовой выпуск отрасли i;

x_ij ‑ объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе производства;

y_i ‑ объем продукции отрасли i, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере ‑ объем конечного потребления. В него входят создаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т.д.), поставки на экспорт.

Указанные величины сведем в таблицу.

Производственное потребление	Конечное Потребление	Валовой выпуск

Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что при любом выполняется соотношение

, (1)

означающее, что валовойвыпуск x_i расходуется на производственное потребление, равное , и непроизводственное потребление, равное у_i. Соотношения (1) называют соотношениями баланса.

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки и т. п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевой балансы. В дальнейшем будем иметь в виду стоимостной баланс.

В. Леонтьев обратил внимание на важное обстоятельство: величины остаются постоянными в течение ряда лет, что объясняется примерным постоянством используемой технологии производства.

Сделаем следующее допущение: для выпуска любого объема x_j продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве , т.е. материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции:

. (2)

Коэффициенты называют коэффициентами прямых материальных затрат или коэффициентами материалоемкости. Они показывают сколько необходимо единиц продукции отрасли i для производства единицы продукции отрасли j, если учитывать только прямые затраты.

Подставив (2) в балансовое соотношения (1), получим

или, в матричной записи,

, (3)

где

Вектор называется вектором валового выпуска, вектор ‑ вектором конечного потребления, а матрица А ‑ матрицей прямых затрат. Соотношение (3) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов и это соотношение называют также моделью Леонтьева.

Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для плановых расчетов:

- задавая для каждой отрасли i валовой выпуск продукции можно определить объемы конечного потребления каждой отрасли :

где Е – единичная матрица;

- задавая величины конечного потребления каждой отрасли можно определить величины валового выпуска продукции :

где – матрица, обратная к матрице , ее элементы называют коэффициентами полных материальных затрат.

Отметим особенности системы (3): все компоненты матрицы А, а также векторов и неотрицательны (это вытекает из экономического смысла А, и ). Для краткости будем записывать это так: .

Таким образом, плановые расчеты по модели Леонтьева можно выполнять при соблюдении следующего условия продуктивности:

матрица называется продуктивной, если для любого вектора существует решение уравнения (3).

В этом случае и модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной.

Сформулируем критерии продуктивности матрицы .

Критерий I. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и неотрицательна.

Критерий II. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда имеет место разложение матрицы в матричный ряд

. (4)

В соотношении (4) матрицы называются матрицами коэффициентов косвенных затрат 2-го, 3-го и т.д. порядков. Их сумма образует матрицу коэффициентов косвенных затрат

. (5)

Суть косвенных затрат поясним на примере производства двигателей. На их изготовление в виде прямых затрат расходуется сталь, чугун и т.д. Но для производства стали также нужен чугун. Следовательно, производство двигателей включает как прямые, так и косвенные затраты чугуна.

Таким образом, из соотношений (4) и (5) имеем

, (6)

т.е. матрица коэффициентов полных материальных затрат включает в себя матрицы коэффициентов прямых и косвенных затрат.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Исследовать на продуктивность матрицу

Решение. Сначала найдем матрицу :

Затем найдем . С этой целью по известным из линейной алгебры правилам вычислим определитель

алгебраические дополнения для элементов матрицы

; ;

Тогда

Полученная матрица неотрицательна и по Критерию I исходная матрица А продуктивная.

Пример 2. Для матрицы А коэффициентов прямых затрат из примера 1 и вектора конечного потребления

найти: а) вектор валового выпуска; б) матрицу косвенных затрат; в) изменение вектора валового выпуска при увеличении вектора конечного потребления на величину