Симплекс-метод для решения задач линейного программирования

С увеличением числа неизвестных геометрический метод решения ЗЛП становится затруднительным при трех переменных и невозможным при большем числе переменных.

Поэтому был разработан универсальный метод решения ЗЛП – симплекс-метод, позволяющий решать ЗЛП в канонической форме.

Изложим суть симплекс-метода на примере задач с 5 неизвестными.

Пусть ЗЛП приведена к виду

(20)

при ограничениях:

, (21)

где ,

(22)

Про систему ограничений (21) говорят, что она имеет допустимый вид, если одни неизвестные () выражаются через остальные (), причем свободные члены этих выражений неотрицательны ().

Неизвестные и называются базисными, а неизвестные – свободными.

Возможны два принципиальных случая:

1Å Все коэффициенты при свободных неизвестных в выражении для F неположительны: и . Тогда для всякого неотрицательного решения системы уравнений (21) имеем и , а потому

или .

Следовательно, базисное решение является оптимальными, т. е. задача решена.

2Å Имеется свободное неизвестное, коэффициент при котором в выражении для F положителен, а все коэффициенты при этом неизвестном в уравнениях (21) – неотрицательны.

Для определенности положим . Исходя из базисного решения, станем наращивать значение , не меняя . Тогда значения базисных неизвестных будут оставаться неотрицательными:

,

а значение будет неограниченно возрастать, т.е. и задача решения не имеет.

Решения ЗЛП редуцируются к одному из случаев 1Å или 2Å путем перехода к новому базису, в котором целевая функция не уменьшит своего значения для базисного решения, а новая система ограничений должна иметь допустимый вид. Преобразование базиса и перестройку целевой функции и системы ограничений называют шагом в решении ЗЛП. Таким образом, сделав нужное число шагов, решают ЗЛП (20) – (22).

Применим симплекс-метод к первой задаче.

I. Основная задача в примере 1 имеет вид

Сначала приведем ее к каноническому виду, вводя балансовые неизвестные , и :

(23)

(24)

Теперь приведем (23) к допустимому виду – неизвестные , и выразим через и , при этом свободные члены в правых частях полученных уравнений неотрицательны:

(25)

Здесь , и – базисные неизвестные, а и – свободные неизвестные.

Шаг 1: положим в (25) и , тогда , , . Получим неотрицательное решение системы уравнений (25). Его называют базисным решением. Для него .

Шаг 2: положим в (25) , а начнем наращивать так, чтобы , и оставались неотрицательными, т. е.

.

Решая эти неравенства, найдем наименьшее значение . Тогда . Объявив и свободными неизвестными, приведем (25) к допустимому виду:

(26)

Получим неотрицательное решение системы уравнений (26). Для него

(27)

примет значение .

Сделаем выводы.

Во-первых, значение F по сравнению с 1-ым шагом увеличилось.

Во-вторых, в (27) коэффициент при отрицательный и для дальнейшего увеличения значения F надо положить и наращивать .

Шаг 3: положим в (26) , а начнем наращивать так, чтобы , и оставались неотрицательными, т. е.

.

Откуда находим наименьшее значение . Тогда . Объявив и свободными неизвестными, приведем (27) к допустимому виду:

(28)

Получили неотрицательное решение системы уравнений (28). Для него

(29)

примет значение .

Сделаем выводы.

Во-первых, значение F по сравнению со 2-ым шагом увеличилось.

Во-вторых, в (29) оба коэффициента при свободных неизвестных отрицательны и дальнейшее увеличение значения F невозможно:

при . Задача решена. Учитывая экономический смысл неизвестных, приходим к выводу: предприятие получит наибольшую прибыль 1104 единиц при изготовлении 36 единиц товара и 6 единиц товара , при этом остатки ресурсов и равны нулю (), а остаток ресурса равен 12 единицам.

Если решается ЗЛП, в которой требуется найти минимум целевой функции, то задачу либо сводят к рассмотренной выше задаче с целевой функцией , либо с помощью шагов приводят к одному из двух принципиальных случаев:

1Å Все коэффициенты при свободных неизвестных в выражении для F неотрицательны: и . Тогда базисное решение является решением задачи.

2Å Имеется свободное неизвестное, коэффициент при котором в выражении для F (20) отрицателен, а все коэффициенты при этом неизвестном в уравнениях (21) – неотрицательны. Тогда задача решения не имеет.

Применим симплекс-метод ко второй задаче, Основная задача в примере 2 имеет вид

Сначала приведем ее к каноническому виду, вводя балансовые неизвестные , и :

(30)

(31)

Приведем ограничения (30) к допустимому виду. Как показано выше, в качестве базисных неизвестных следует выбирать такие неизвестные, каждая из которых входит только в одно из уравнений системы ограничений (31), при этом нет таких уравнений системы, в которые не входит ни одна из этих неизвестных, и каждая базисная неизвестная имеет тот же знак, что и свободный член.

Нетрудно видеть, что , и не могут быть базисными неизвестными. Действительно,

(32)

и знаки , и противоположны знакам свободных членов.

Для выделения базисных неизвестных из системы ограничений (30) необходима ее перестройка.

Полагая в (32) (или ) найдем из условий неотрицательности , и :

.

наибольшее значение . Тогда и систему (32) запишем в виде

(33)

Получили систему ограничений, имеющую допустимый вид: , и – базисные неизвестные, и – свободные неизвестные. Перейдем к процедуре шагов.

Шаг 1: положим в (33) и , тогда получим базисное решение , для которого целевая функция

(34)

примет значение .

В (5.15) коэффициент при положительный и для дальнейшего уменьшения значения f надо положить и наращивать .

Шаг 2: положим в (33) , а начнем наращивать так, чтобы , и оставались неотрицательными, т. е.

.

Откуда находим . Тогда . Объявив и свободными неизвестными, приведем (33) к допустимому виду:

(35)

Из (35) получим базисное решение . Для него

(36)

примет значение .

В (36) коэффициенты при свободных неизвестных положительны и дальнейшее уменьшение значения f невозможно: при . Задача решена.

Учитывая экономический смысл неизвестных, приходим к выводу.

Ежесуточная диета, обеспечивающая необходимое количество питательных веществ, состоит из единиц продукта , единиц продукта и ее минимальная стоимость единиц. При этом потребности организма в питательных веществах A и B отвечают требуемым минимальным объемам единиц и единиц соответственно (т.к. и ), а потребности в питательном веществе С больше требуемого минимального объема единиц на единиц.

В заключение рассмотрим вопрос: всегда ли после конечного числа шагов симплекс-метод закончится либо нахождением оптимального решения, либо установлением того факта, что задача не имеет решения.

Ответ утвердительный и содержится в следующей теореме.

Теорема. Если существует оптимальное решение ЗЛП, то существует и базисное оптимальное решение. Последнее всегда может быть получено с помощью симплекс-метода.