Матричная модель межотраслевого баланса в натурально-вещественной форме

Межотраслевой баланс в натуральном выражении может составляться на национальном и региональном уровнях. В нем в натуральной форме от­ражается производство и распределение продукции, межотраслевые (меж­продуктовые) связи, использование материальных и трудовых ресурсов. Отрасли здесь выступают в качестве отдельных продуктов в соответствии с принципом: каждая отрасль производит один продукт или каждый про­дукт производится конкретной отдельно взятой отраслью. Поэтому часто данный баланс называют межпродуктовым. В межотраслевом (межпро­дуктовом) балансе, выраженном в натурально-вещественной форме, в каче­стве единиц измерения отраслей (продуктов) выступают натуральные по­казатели (тонны, м³ и т.д.).

Общая схема межотраслевого (межпродуктового) баланса в нату­ральном выражении имеет вид:

Таблица 1.1

Отрасли, производя­щие про­дукцию	Отрасли, потребляющие про­дукцию	Конечная продукция Y	Валовая продукция X
		...	n
	x11	x12	…	x1n	Y1	X1
	x21	x22	…	x2n	Y2	X2
…	…	…	…	…	…	…
n	xn1	xn2	…	xnn	Yn	Xn
Затраты труда	V1	V2	…	Vn	-	-

В данной схеме Х_ij (i = j = 1, 2, …, n) представляют собой затраты продукции i-го вида на все валовое производство продукции j-го вида и сфере материального производства. Межпродуктовые потоки х_ij (i = j = 1, 2, …, n) в данном балансе образуют квадратную матрицу. Эту матрицу часто называют матрицей межотраслевых потоков. Кроме матрицы межот­раслевых потоков баланс в натуральном выражении включает вектор ко­нечной продукции Y_i (i = 1, 2,..., n). Величины Y_i в натуральном ба­лансе характеризуют объем i-той продукции, которая идет на конечное по­требление. К нему относится личное потребление граждан, удовлетворение общественных потребностей, содержание государственных институтов (армия, больницы), экспорт продукции.

Кроме вектора конечной продукции в балансе имеется вектор Х_i (i = 1, 2, …, n), где его компонента Х_i характеризует в натуральном выраже­нии объем валового производства i-той продукции.

В балансе имеется вектор-строка затрат труда, каждая компонента ко­торого (V_j) характеризует прямые трудовые затраты (в человеко-часах) на производство валовой продукции j-го вида.

В силу того, что в данном балансе все показатели выражены в нату­ральной форме, складывать их можно только по строкам.

Для отдельно взятого продукта по строке выполняется равенство

(i = 1, 2, …, n) (1.1)

т.е. валовая продукция отдельно взятого i-го вида используется в сфере матермального производства , а также, покидая сферу материального производства, формирует конечную продукцию данного вида. Система (1. 1) определяет модель данного баланса.

Выделив из схемы баланса матрицу межотраслевых затрат и валовую продукцию можно рассчитать показатели прямых затрат разных видов продукции на производство единицы каждого вида продукции в номенкла­туре баланса:

= = А

В матрице А компонента a_ij характеризует производственные затраты продукции i-го вида на единицу продукции j-го вида.

Коэффициенты (i = 1, 2, …, n) (1.2)

называются показателями прямых материальных затрат, а сама матрица А — матрицей прямых материальных затрат.

Используя формулу (1.2), система (1.1) может быть выражена в виде:

(i = 1, 2, …, n) (1.3)

По балансу в натурально-вещественной форме можно осуществлять три основных вида расчетов:

1. При заданной матрице прямых материальных затрат А и при из­вестном векторе конечной продукции Y_i (i = 1, 2,..., n) с использованием (1.3) определяются валовые выпуски продукции отраслей x_i (i = 1, 2,..., n).

2. При заданной матрице прямых материальных затрат А и при из­вестном векторе валовых выпусков продукции x_i (i = 1, 2,..., n) с исполь­зованием (1.3) определяются конечные выпуски отраслей Y_i (i = 1, 2,..., n).

3. При заданной матрице прямых материальных затрат А и известной части компонентов вектора валовых выпусков продукции x_i (i = 1, 2,..., k; k < n), а также известной части компонентов вектора конечной продукции Y_i (i = 1, 2,..., n) определяются неизвестные компоненты векторов валовой и конечной продукции x_i (i = 1, 2,..., n), Y_i (i = 1, 2,..., k; k < n)

Рассмотрим эти виды расчетов на примере В. Леонтьева.

Для производства бушеля пшеницы сельскому хозяйству требуется 0,25 (=25/100) единицы его собственной продукции и 0,14 (=14/100) единицы продукции обрабатывающей промышленности, в то время как обрабатывающей промышленности для производства 1 ярда ткани требуется 0,40 (=20/50) единицы продукции сельского хозяйства и 0,12 (=6/50) единицы продукции обрабатывающей промышленности.

Таблица 1.2

Макроэкономическая таблица «затраты – выпуск»

(в натуральных единицах)

Потребление Производство	Сельское хозяйство	Промышленность	Конечное потребление	Валовая продукция
Сельское хозяйство, бушели пшеницы
Промышленность, ярды ткани

«Рецептура» производства для двух отраслей можно представлена в компактной табличной форме (таблица 1.3). «Рецептурой» в литературе называют матрицу коэффициентов прямых материальных затрат, рассчитанных по формуле (1.2) Это «структурная матрица» экономики, показатели которой являются технологическими коэффициентами, так например, данные столбца 2 представляют собой технологические коэффициенты затрат сельского хозяйства, а данные столбца 3 - технологические коэффициенты затрат обрабатывающей промышленности.

Таблица 1.3

Затраты на единицу выпуска

Потребление Производство	Сельское хозяйство	Промышленность
Сельское хозяйство	0,25	0,40
Промышленность	0,14	0,12

Технологические коэффициенты (коэффициенты прямых материальных затрат) позволяют определить величину годовой валовой продукции сельского хозяйства и обрабатывающей промышленности.

Представим формулу (1.3) в матричной (векторной) форме:

X = A X + Y (1.4),

где X – вектор валовых выпусков продукции отраслей с компонентами (x₁, x₂, …, x_n); А – матрица прямых материальных затрат с элементами a_ij (i = 1, 2,..., n); Y – вектор конечной продукции отраслей с компонентами (Y₁, Y₂, …, Y_n).

Из формулы (1.4) следует:

X – A X = Y

X (1 – A) = Y

(E – A) X = Y,

где Е – единичная матрица. Окончательно получаем формулу:

X = (E – A)^-1 Y,

или

X = B Y (1.5),

где B = (E – A)^-1 – матрица полных материальных затрат.

Процесс расчета коэффициентов полных материальных затрат трудоемок, особенно в том случае, когда количество отраслей значительно. Для того, чтобы рассчитать коэффициенты прямых материальных затрат необходимо воспользоваться одним из известных математических методов обращения матриц или функцией МОБР() офисной программы EXCEL.

Пример 1.1

Дана матрица прямых материальных затрат (А) и известны объемы конечного потребления (Y)

А =

Необходимо найти объем валовой продукции отраслей.

Решение:

Для решения задачи используем формулу (1.5).

1. Найдем коэффициенты полных материальных затрат (В) для примера В. Леонтьева, используя матричный метод:

1.1 Запишем матрицу (Е – А):

(Е – А) = =

1.2 Находим определитель матрицы (Е – А):

1.3 Составим вспомогательную матрицу :

=

1.4 Находим транспонированною матрицу

=

1.5 Обращаем полученную матрицу, то есть находим коэффициенты полных материальных затрат:

2. Находим вектор (матрицу) валовой продукции по формуле (1.5):

Пример 1.2

Дана матрица прямых материальных затрат (А) и известны объемы валовой продукции (Х)

А =

Необходимо найти объем валовой продукции отраслей.

Решение:

Y = (E – A) X

Пример 1.3

Дана матрица прямых материальных затрат (А) и известны объемы валовой продукции (Х) сельского хозяйства 100 бушелей пшеницы и объем конечного потребления промышленной продукции (Y) – 30 ярдов ткани.

А =

Необходимо найти объем валовой продукции промышленности и конечное потребление продукции сельского хозяйства.

Решение: