Статически неопределимые стержневые системы

Статически неопределимыми стержневыми системами называются такие системы, в которых количество неизвестных превышает число уравнений равновесия. Неизвестными могут являться как внутренние силовые факторы в поперечных сечениях, так и внешние силы - реакции связей (опор).

Степень статической неопределимости. Степенью статической неопределимости системы - называется разность между количеством неизвестных - и числом уравнений равновесия - : .

Лишние связи. Числом лишних связей - называется количество связей, наложенных сверх необходимых. Необходимыми называются связи обеспечивающие неподвижность (неизменяемость) системы как твердого тела. Лишние связи могут быть внутренними ограничивающими взаимные относительные смещения точек стержневой системы и внешними ограничивающими абсолютные смещения точек стержневой системы относительно неподвижной системы координат. Общее число лишних связей равно сумме внутренних лишних - и внешних лишних - связей: . Примеры статически неопределимых стержневых систем показаны на рис.11.1.

Рис.1.1

Лишние внутренние связи в стержневых системах появляются только при наличии замкнутого контура. Плоский жесткий (без шарниров) замкнутый контур имеет 3 лишние внутренние связи. Пространственный жесткий замкнутый контур дает 6 лишних внутренних связей. Одиночный шарнир, врезанный в плоский замкнутый контур, устраняет одну лишнюю внутреннюю связь. Одиночным или простым шарниром называется шарнир, соединяющий два стержня. Шарнир, соединяющий более двух стержней, называется кратным (соединяющий 3 стержня – двукратным, 4 стержня – трехкратным и т.д.) и эквивалентен числу шарниров равному его кратности. Цилиндрический шарнир, врезанный в пространственный контур, также устраняет одну лишнюю внутреннюю связь.

Важным для анализа статически неопределимых систем является следующее обстоятельство: степень статической неопределимости стержневой системы равна количеству лишних связей: .

Методы раскрытия статической неопределимости. В случае произвольно нагруженных стержневых систем применяются формализованные методы, в которых дополнительные условия для раскрытия статической неопределимости записаны в виде канонических уравнений. Наибольшее распространение получили два таких метода: метод сил, метод перемещений.

Метод сил. Порядок раскрытия статической неопределимости линейно-упругих стержневых систем по методу сил состоит из нескольких обязательных этапов:

1. Из исходной - раз статически неопределимой системы формируется основная система. Основная система получается из исходной путем отбрасывания лишних связей, следовательно, является статически определимой. (Из исходной, можно получить несколько различных основных систем, но в любом случае основная система должна быть геометрически неизменяемой, то есть неподвижной).

2. Из основной системы формируют статически определимую эквивалентную систему (она имеет такие же деформации, следовательно, и внутренние силы, как и исходная система). Эквивалентная система получается добавлением сил по направлению отброшенных лишних связей. Силы называются лишними неизвестными и являются реакциями отброшенных связей. Пример статически неопределимой плоской рамы со степенью статической неопределимости - (лишних внутренних связей - , лишних внешних связей - )приведен на рис.1.2. Лишние неизвестные, приложенные вместо отброшенных внутренних лишних связей, всегда прикладываются попарно (см. рис.1.2, неизвестные ), так как являются силами взаимодействия двух частей рассматриваемой системы.

3.Величины лишних неизвестных определяются из условий равенства нулю перемещений по направлению отброшенных связей, которые записываются системыканонических уравнений метода сил:

Рис.1.2

где: - перемещение по направлению - той отброшенной связи, вызванное действием единичной нагрузки приложенной по направлению - той связи (т.е. ); - перемещение по направлению - той отброшенной связи вызванное действием внешней нагрузки, . На основании теоремы Бетти матрица коэффициентов системы канонических уравнений симметрична, то есть: , что позволяет существенно упростить решение задачи в случае систем с большой степенью статической неопределимости.

Коэффициенты системы канонических уравнений можно находить любым способом, но обычно используется энергетический метод в виде интеграла Мора.

После того как определены неизвестные , вместо исходной статически неопределимой системы можно рассматривать статически определимую эквивалентную систему, перемещения и напряжения, в которой находятся известными методами.