Примеры решения задач. Задача 1. В центре квадрата, в каждой вершине которого находится заряд равный 2,4 нКл, помещен отрицательный заряд qo

Задача 1. В центре квадрата, в каждой вершине которого находится заряд равный 2,4 нКл, помещен отрицательный заряд q _o. Найти этот заряд, если на каждый заряд в вершине действует результирующая сила, равная 0,4 мН. Сторона квадрата 1 см.

Дано: а = 1см =10^—2м. q ₁= q ₂= q ₃= q ₄= 2,4 нКл = 2,4 ^.10^—9Кл F =0,4мН=0,4 ^.10^—3Н	Решение.
q _o —?

Результирующая сила F, действующая на каждый из зарядов, находящихся в

вершинах квадрата, равна

Отсюда:

Задача 2. Два заряда q ₁= q и q ₂= -4 q находятся на расстоянии r = 10 см друг от друга. Третий заряд q ₃ может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определите положение заряда q ₃, при котором он будет находиться в равновесии.

Дано: q ₁= q; q ₂= -4 q; r = 10см	Решение. Заряд будет находиться в равновесии, если Из рисунка видно, что это условие может быть выполнено лишь на рис. (а).
х —?

Расстояние от меньшего по модулю заряда q ₁ до q ₃ на рис. (а) обозначим через х. Тогда расстояние от заряда q ₂ до заряда q ₃будет равно (r + x).

Выражая в условии равновесия силы F ₁и F ₂ в соответствии с законом Кулона, получим

Физическому условию задачи удовлетворяет корень х ₁ = r.

Ответ: х = r.

Задача 3. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами q ₁=30 нКл и q ₂=-10 нКл Расстояние d между зарядами равно 20 см. Определите напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r ₁=15 см от первого и на расстоянии r ₂=10 см от второго заряда.

Дано: q ₁= 30 нКл = 3 ^.10^-8Кл; q ₂= -10 нКл = -10 ^.10^-8Кл; d = 20 см = 0,2м; r ₁ = 15 см = 0,15 м; r ₂ = 10 см = 0,1 м;	Решение. α α q ₁ d q ₂
Е —?

Согласно принципа суперпозиции:

Задача 4. Заряд q =1,5 ^. 10^—8 Кл равномерно распределен по кольцу радиуса R =0,2м. Найдите напряженность электрического поля в точке, находящейся на оси кольца на расстоянии h =0,15 м от его центра.

Дано: q =1,510^-9 Кл R =0,2 м h =0,15 м	Решение. Заряд q не является точечным, поэтому кольцо разбивается на элементарные части, заряд dq, которые можно считать точечными.
E —?

Согласно принципа суперпозиции: Вектор d можно разложить на составляющие dE_ix и dE_iy _.Тогда , — единичные вектора (орты).

Очевидно, что Таким образом .

dE_iy = dE_i ·cosα,

Ответ: E =1,3·10³ (В/м).

Задача 5. Заряд точечный q _о= —2×10^—10 Кл расположен на продолжении оси диполя, электрический момент которого р _е= —1,5×10^—10Кл×м, на расстоянии r =10 см от его центра (ближе к положительному заряду диполя). Какую работу надо совершить, чтобы перенести этот заряд в симметрично расположенную точку по другую сторону диполя.

Дано: q _о= -2^.10^-10 Кл р _е= -1,5 ^.10^-10Кл^.м, r = 10 см	Решение. Работа А ^*, совершаемая внешними силами при перемещении заряда в электрическом поле, равна работе
А ^*—?	сил поля, взятой с обратным знаком.

где j₁и j₂ - потенциалы точек В и С.

Если учесть, что и при r >> выражениями в знаменателе можно пренебречь, то формулы для j₁и j₂ принимают вид:

Задача 6. Тонкий стержень длиной =10 см равномерно заряжен зарядом q = -3×10^-9 Кл. Определите напряженность и потенциал поля в точке С, лежащей на оси стержня. На расстоянии x ₀ от середины стержня до этой точки.

Дано: x _o= 20 см q = -3^.10^—9 Кл = 10 см	Решение. Заряд не является точечным, поэтому стержень разбивается на элементарные отрезки dx, заряд dq на которых можно считать точечным.
E _c—? j _c —?

Потенциал поля, создаваемый в точке С зарядом dq, равен

Потенциал поля, создаваемый в точке С всем стержнем, находится интегрированием

Таким образом,

Напряженность поля вдоль оси OX равна

Отсюда

Ответ: φ_c= -138 В; E _c= 720 В/м.

Задача 7. В плоский конденсатор влетает электрон со скоростью V = 2×10⁷ м/c, направленной параллельно пластинам конденсатора. На какое расстояние от своего первоначального направления сместится электрон за время пролета конденсатора? Расстояние между пластинами d = 2 см, длина пластин конденсатора =5 см, разность потенциалов между пластинами U = 200 В.

Дано: V _о= 2^.10^-7 м/с d = 2 см = 2^.10^-2 м = 5 см U = 200 В m = 9,1^.10^-31 кг e = 1,6^.10^-19 Кл	Решение.
S —?

Движение электрона вдоль оси ОХ является равномерным, вдоль оси ОУ - равноускоренным.

где a – ускорение, приобретаемое электроном под действием силы F = eE.

Отсюда

Ответ: S = 5,5 мм.

Задача 8. Плоский воздушный конденсатор с площадью S пластины, равной 500 см², подключен к источнику тока, ЭДС которого равен 300 В. Определить работу А внешних сил по раздвижению пластин от расстояния d ₁= 1 см до d ₃= 3 см в двух случаях: 1) пластины перед раздвижением отключаются от источника тока; 2) пластины в процессе раздвижения остаются подключенными к нему.

Дано: S = 500 см²= =5^.10^—2 м² U = 300 B d ₁= 1 см d ₃= 3 см	Решение. Работа внешних сил равна изменению энергии конденсатора: А = W ₂ — W ₁. 1) Заряд на обкладках конденсатора остается постоянным, так как конденсатор отключен от источника
А —?	q = C ₁ Dφ = const, где Dφ равна ЭДС источника U.

2) Пластины остаются подключенными к источнику тока, и система не является изолированной. Заряд с пластин при их раздвижении перемещается к клеммам батареи. В этом случае остается неизменной разность потенциалов между пластинами Dφ = U, поэтому энергию конденсатора удобно представить в виде: ,

тогда . Таким образом

Ответ: 1) А = 3,98·10^-6 Дж; 2) A = 1,33·10^-6 Дж.

Задача 9. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 2 мм, разность потенциалов U = 1,8 кВ. Диэлектрик - стекло. Определите диэлектрическую восприимчивость χ стекла и поверхностную плотность s ¢ связанных зарядов на поверхности стекла.

Дано: d = 2 мм U = 1,8 кВ e = 7,0	Решение. e = 1 + χ, χ = e - 1 = 6. s ¢ = Р, где Р — поляризованность диэлектрика. Р = χ e_о Е, где Е = U / d — напряженность поля в
s ¢—?	диэлектрике.

Отсюда: s ¢ = χ e_о(U / d) = 47,7 ^. 10^—6 Кл/м².

Ответ: χ = 6, s ¢ = 47,7 ^. 10^—6 Кл/м².

Задача 10. Плоская квадратная пластина со стороной a =0,1 м находится на некотором расстоянии от бесконечной, равномерно заряженной плоскости (s=1 мкКл/м²). Плоскость пластины составляет угол b=30^ос линиями поля. Найти поток Ф вектора электрической напряженности через эту пластину.

Дано: a = 0.1 м s=1 мкКл/м² b = 30^о	Решение. +s a b
Ф —?

Заряженная плоскость создает однородное электрическое поле с напряженностью . Таким образом Ф = E·S· cosa.

Учитывая, что , окончательно получаем

Ответ: Ф=280 В·м.

Задача 11. В центре сферы, радиусом R =20 см, находится точечный заряд q =10^-2 мкКл. Определить поток вектора напряженности через часть сферической поверхности площадью S =20 см².