Примеры решения задач. 1) Задача на применение закона Кулона

1) Задача на применение закона Кулона.

Два одинаковых маленьких шарика массой по 2г подвешены на шелковых нитях длиной 1м каждая в одной точке. После того как шарикам сообщили одинаковый положительный заряд, они разошлись на расстояние 4см. Определите величину заряда каждого шарика.

Запишем краткое условие задачи.

Решение: На каждый шарик действуют три силы: сила тяжести , сила Кулона и сила натяжения нити

Дано: СИ

α

mg

Fк

T

m=2г =2·10^-3кг

=1м

r=4см =4·10^-2м

q-?

Так как шарики находятся в покое, векторная сумма этих сил равна нулю: . Это возможно только в том случае, если равнодействующая силы тяжести и силы натяжения нити уравновешивается силой отталкивания: . По закону Кулона . Приравниваем правые части и . Угол α найдем, зная, что и тогда .

Проведем проверку размерности:

Произведем вычисления: .

.

Ответ: 8,34нКл.

2) Задача на применение принципа суперпозиции.

Два заряда по 20мкКл расположены на расстоянии 6 см друг от друга. Найти напряженность в точке, удаленной на 5см от каждого заряда, если заряды одноименные.

Запишем краткое условие задачи.

Дано: СИ Решение:

Построим в точке, где ищем напряженность, вектора напряженностей и электрических полей, создаваемых зарядами q1 и q2 с учетом знаков зарядов.

а

π-α

b

b

α

q₁= 2нКл = 2·10^-9Кл

q₂= 2нКл = 2·10^-9Кл

a= 6см =6·10^-2м

b= 5см =5·10^-2м

Е-?

По принципу суперпозиции результирующая напряженность .

По теореме косинусов модуль результирующей напряженности , где

, так как заряды по модулю равны и равны расстояния от зарядов до точки, в которой ищем результирующую напряженность. α -угол между векторами и . Как видно из рисунка этот угол равен углу, лежащему напротив отрезка а в треугольнике, образованном отрезками a, b, b. По теореме косинусов найдем cosα: .

По формулам приведения , следовательно

Проведем проверку размерности:

Произведем вычисления: .

Ответ: 11,5 кВ/м.

3) Задача на работу сил электрического поля.

Шарик массой 10^-4кг перемещается вдоль силовой линии однородного электрического поля из точки 1 с потенциалом 1000В в точку 2 с потенциалом равным 100В. Определите скорость шарика в точке 1, если в точке 2 его скорость 20м/с. Заряд шарика 10^-5Кл.

Запишем краткое условие задачи.

Решение: Работа, совершенная силами электрического поля при перемещении заряженного шарика из точки 1 в точку 2, равна изменению его кинетической энергии : , где,

Дано:

q=10^-5Кл

m=10^-4кг

φ₁=1000В

φ₂=100В

v₂=20м/с

v₁-?

, -кинетические энергии шарика в точках 2 и 1 соответственно. С другой стороны работу поля можно найти через разность потенциалов: . . Отсюда .

Проведем проверку размерности:

=

Произведем вычисления:

Ответ: 14,8м/с

4) Задача на использование формул потенциальной энергии и емкости конденсатора.

Какую работу нужно совершить, чтобы удалить слюдяную пластинку из плоского конденсатора емкостью 10мкФ? Заряд конденсатора 100мкКл.

Запишем краткое условие задачи.

Решение: Работа А равна изменению потенциальной энергии конденсатора, взятому со знаком минус: А = -(Wп2 – Wп1)

Дано: СИ

С₁=10мкФ =10^-5Ф

Q=100мкКл =10^-4Кл

А-?

где - потенциальная энергия конденсатора с пластинкой, - его потенциальная энергия без пластинки. Заряд конденсатора при удалении пластинки не изменился, так как он отключен от источника тока. Емкость конденсатора с пластинкой и без нее , ε₁, ε₂-диэлектрические проницаемости слюды и воздуха соответственно (из таблицы ε₁=6, ε₂=1). Разделим емкости конденсаторов друг на друга: .

Отсюда .

.

И искомая работа: .

Проведем проверку размерности:

Произведем вычисления:

Ответ: - 2,5мДж

5) Задача на применение закона Ома.

Лампа подключена медными проводами к источнику тока с ЭДС 2 В и внутренним сопротивление 0,04 Ом. Длина проводов 4 м, их диаметр 0,8 мм. Напряжение на зажимах источника 1,98 В. Найти сопротивление лампы.

Решение: Напряжение на зажимах источника , отсюда сила тока в цепи. . Общее сопротивление проводов и лампы

Запишем краткое условие задачи.

Дано: СИ

Е=2В

r=0,05 Ом

=4м

d=0,8мм =8·10^-4м

U_вн=1,98В

R_л-?

, где , ρ-удельное сопротивление меди (из таблицы ρ=1,7·10^-8Ом·м), -площадь сечения провода, длина провода удваивается, так как провод двужильный. С другой стороны общее сопротивление цепи по закону Ома для однородного участка цепи: .

Тогда .

Проведем проверку размерности:

Произведем вычисления:

Ответ: 3,33 Ом

6) Задача на определение потерь мощности.

Ток мощностью 2·10⁸Вт необходимо передать на расстояние 200км при напряжении 2·10⁵В. Потери мощности на линии передачи не должны превышать 10%. Какого сечения нужно взять алюминиевый провод?

Запишем краткое условие задачи.

Решение: По условию теряемая мощность . С другой стороны мощность электрического тока, выделяемая на проводнике , отсюда .

Дано: СИ

P=2·10⁸Вт

U=2·10⁵В.

=200км =2·10⁵м

k=0,1

S-?

С учетом того, что ток в цепи , получим . Сопротивление проводов , ρ=2,8·10^-8Ом·м – удельное сопротивление алюминия (из таблицы). Приравниваем два выражения для сопротивления .

Проведем проверку размерности:

Произведем вычисления:

Ответ: 5,6·10^-4 м².

7) Задача на применение закона Био-Савара-Лапласа.

По квадратной рамке со стороной 0,2 м течет ток 4 А. Определить напряженность и индукцию магнитного поля в центре рамки.

Запишем краткое условие задачи.

Решение Магнитное поле в центре рамки создается отрезками проводников с током, являющихся сторонами квадрата.

Дано:

а = 0,2м

I = 4 A

B -? H -?

I

Направления векторов магнитной индукции в центре квадрата найдем по правилу правого буравчика; все они направлены в одну сторону, перпендикулярно плоскости рамки от нас.

α1

α2

По принципу суперпозиции В = 4В₁ где В₁ – индукция магнитного поля, создаваемого одной стороной квадрата, по следствию из закона Био-Савара-Лапласа она равна ,

здесь r = а/2 – расстояние от проводника до центра квадрата, α₁ = 45⁰, α₂ = 135⁰.

Тогда получим расчетную формулу для В:

Произведем вычисления:

Индукция поля и напряженность связаны соотношением: .

Отсюда

Ответ: 22,6·10^-6 Тл; 18 А/м.

8) Задача на применение закона Ампера.

Прямолинейный проводник массой 2 кг и длиной 59 см помещен в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Какой ток должен проходить по нему, чтобы он висел не падая? Индукция однородного магнитного поля равна 15 Тл.

Запишем краткое условие задачи.

Решение: Проводник не будет падать, если сила тяжести будет уравновешена силой Ампера , т.е. модули этих сил . Согласно закону Ампера . . Отсюда сила тока

Дано: СИ

m=2кг

=59см =0,59м

В=15Тл

α=90⁰

I-?

Проведем проверку размерности:

.

Произведем вычисления: .

Ответ: 2,2 А

9) Задача на силу Лоренца.

α-частица, ускоренная разностью потенциалов 250 В, влетает в однородное магнитное поле индукцией 25 мТл, перпендикулярно линиям магнитной индукции и движется по окружности. Найдите радиус окружности и период обращения α-частицы.

Запишем краткое условие задачи.

Решение: Работа электрического поля затрачивается на увеличение кинетической энергии частицы:

Дано: СИ

е=1,6·10^-19Кл

m_p=1,67·10^-27кг

U=250B

B=25мТл =25·10^-3Тл

α=90⁰.

R, T-?

.

В магнитном поле на движущуюся заряженную частицу действует сила Лоренца: , угол α=90⁰ и . Согласно второму закону Ньютона , где - центростремительное ускорение частицы, движущейся по окружности радиуса R. Получаем . Окончательно радиус окружности: .

Период обращения частицы найдем, разделив длину окружности на скорость частицы: .

Заряд α-частицы: , ее масса

Проведем проверку размерности:

=

Произведем вычисления:

Ответ: 0,13 м; 5,2·10^-6 с.

10) Задача на электромагнитную индукцию.

Катушка сопротивлением 100 Ом, состоящая из 1000 витков, внесена в однородное магнитное поле, так что линии магнитной индукции параллельны оси катушки. Площадь поперечного сечения катушки равна 5 см². В течение некоторого времени индукция магнитного поля уменьшилась с 0,09 до 0,04 Тл. Какой заряд индуцирован в проводнике за это время?

Запишем краткое условие задачи.

Решение: При изменении магнитного потока, пронизывающего катушку в ней возникает индукционный ток силой, по закону Ома равный:

Дано: СИ

R=100 Ом

N=1000

S=5см² =5·10^-4м²

B₁=0,09Тл

B₂=0,04Тл

q-?

, где - ЭДС индукции. По определению сила тока , где - время протекания заряда через поперечное сечение провода.

Приравниваем: . Отсюда .

По закону Фарадея ЭДС индукции, возникающая в катушке содержащей N витков: ,

где , .

Угол α между нормалью к плоскости контура и линией магнитной индукции по условию задачи равен нулю, поэтому .

С учетом этого .

Проведем проверку размерности:

Произведем вычисления: .

Ответ: 2,5·10^-4 Кл

11) Задача на идеальный колебательный контур.

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С=5 мкФ и катушки индуктивности L = 0,2 Гн. Определить максимальную силу тока I₀ в контуре, если максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора U₀ = 90 В. Активным сопротивлением проводов в контуре пренебречь.

Запишем краткое условие задачи.

Решение: Воспользуемся законом сохранения энергии для идеального колебательного контура:

Дано: СИ

L=0,2 Гн

С=5 мкФ =5·10^-6Ф

U₀= 90В

I₀ -?

Полная энергия контура равна энергии конденсатора при максимальном значении U: .

Сила тока достигает максимального значения в момент разрядки конденсатора, при этом .

Следовательно, .

Откуда: .

Произведем вычисления: .

Ответ: 0,45 А

12) Задача на формулу Томсона.

В колебательный контур включен конденсатор емкостью С=0,2 мкФ. Какую индуктивность L нужно включить в контур, чтобы получить в нам электромагнитные колебания частоты υ = 400Гц?

Запишем краткое условие задачи.

Решение: Воспользуемся формулой Томсона: . Циклическая частота равна ω = 2πυ

Дано: СИ

С=0,2 мкФ =0,2·10^-6Ф

υ= 400Гц

L -?

Следовательно, .

Откуда

Произведем вычисления: .

Ответ: 0,79 Гн.