Общие сведения. Основным методом расчета показателей надежности при их прогнозировании и нормировании является статистический метод с использованием теории вероятностей

Основным методом расчета показателей надежности при их прогнозировании и нормировании является статистический метод с использованием теории вероятностей. Исходными данными для расчета являются:

результаты лабораторных и промышленных испытаний;

статистическая информация, полученная при эксплуатации и ремонте оборудования.

Основные виды испытаний на надежность:

определительные (обычно приближены к стадиям разработки);

контрольные (получают данные для подтверждения соответствия серийной продукции требованиям по надежности).

Объемы испытаний для подтверждения заданных показателей надежности, ввиду их трудоемкости, значительных затрат и больших сроков проведения, сокращают путем:

форсирования режимов;

оценки надежности по малому числу и отсутствию отказов;

сокращения числа образцов за счет увеличения длительности испытаний;

использования разносторонней информации о надежности деталей и узлов машины.

Объем испытаний, кроме того, может быть сокращен научным планированием эксперимента и повышением точности измерений.

Для невосстанавливаемых деталей, как правило, оценивают и контролируют P(t). Для восстанавливаемых – среднюю наработку на отказ Т и среднее время восстановления Твосс.

Во многих случаях испытания на надежность необходимо проводить до разрушения. Испытывают не все изделия (генеральную совокупность), а небольшую часть (выборку). Чтобы учесть возможное отличие, вводят понятие доверительной вероятности (достоверности) – вероятности того, что истинное значение оцениваемого параметра лежит в заданном интервале, называемом доверительным.

Доверительный интервал для вероятности Р(t) ограничен нижней Р(t)н и верхней Р(t)в доверительными границами

(1)

где Вер –вероятность события, β – значение двусторонней доверительной вероятности.

На практике используется односторонняя вероятность:

(2)

или

(3)

На стадии испытаний опытных образцов α = 0,7–0,8, на стадии передачи разработки в серийное производство 0,9–0,95.

В зависимости от используемого объекта и определяемых показателей надежности в ГОСТ 27.410–87 установлены 16 разновидностей планов испытаний на надежность.

Например, в планах [NUT], [NUr], [NRr], [NRT] приняты обозначения: U – невосстанавливаемые и незаменяемые объекты при испытаниях в случае отказа; R – невосстанавливаемые, но заменяемые в случае отказа; N – число одновременно испытываемых объектов, r – число отказов, Т – время испытаний.

Например, план [NUT] предусматривает одновременные испытания N объектов, отказавшие объекты не восстанавливают и не заменяют, испытания прекращают при истечении времени наработки Т. План [NRr] – одновременно испытывается N объектов, отказавшие во время испытаний объекты заменяются новыми, испытания прекращают при достижении числа отказавших объектов, суммарного по всем позициям числа r.

ГОСТ 27.410–87 также регламентирует требования к расчетным, экспериментальным методам определения показателей надежности, факторы выбора методов и исходных данных для определения плана контроля показателей на всех стадиях разработки техники. В нем подробно расписаны порядок подготовки и проведения определительных и контрольных испытаний опытных образцов, установочных серий и испытаний на стадии серийного производства, порядок оформления программ и методик и отчетной документации по всем используемым методам. В приложениях к ГОСТ приведены обозначения, термины и определения по всем 16 видам планов испытаний, примерное содержание программ и методик испытаний на надежность, применяемость видов испытаний. Планы контрольных испытаний приводятся в качестве обязательного приложения.

Точечные оценки показателей надежности, параметры законов распределения и доверительные границы упомянутых оценок при принятых планах наблюдения определяются в результате обработки статистических данных и установления закона распределения. При обработке статистических данных, полученных при испытаниях или эксплуатационных наблюдениях, выполняются следующие операции:

составляются вариационные ряды с группировкой данных по отказам;

вычисляются параметры эмпирического распределения и строятся графики эмпирической функции плотности распределения f(x);

выравнивается эмпирическое распределение по выбранному теоретическому закону распределения;

эмпирические и теоретические функции распределения сравниваются по критериям согласия;

определяются показатели надежности.

Соответствие вида теоретического распределения эмпирическому распределению устанавливается применением критериев согласия. Наиболее распространены критерии χ2 (Пирсона), λ (Колмогорова), t (Стьюдента).

1. Распределение Стьюдента позволяет оценивать генеральное среднее, когда генеральная дисперсия неизвестна. При этом число наблюдений n может быть очень малым (n = 2), поэтому здесь используются большие доверительные интервалы. В этом случае вместо квантиля нормального распределения Up рассматривается величина

(4)

При больших значениях n дисперсия S 2 (выборки) мало отличается от σ 2 (генеральной дисперсии) и величина t от Up.

(5)

где a – генеральное среднее; x – выборочное среднее.

Но σ нельзя найти из наблюдений из-за необходимости проведения непомерного их объема. Поэтому используют распределение t; вместо квантиля U1− p / 2 рассматривают табличный квантиль t1− p / 2. В таблицах справочников даны значения 1 p / 2 t − для уровней значимости p от 0,2 до 0,001, т. е. вероятностей (1− p / 2) от 0,9 до 0,9995 для числа степеней свободы f = 1−∞. Например, для f = 1 этот квантиль варьирует в пределах от 3,08 до 636,62, для f = ∞ в пределах от 1,28 до 3,29.

Односторонние доверительные оценки:

(ограничение сверху); (6)

(ограничение снизу). (7)

2. Критерий Пирсона или χ2-распределение используют для оценки генеральной дисперсии с помощью выборочной дисперсии. Для выборки с элементами x1, x2... xn:

(8)

исключая связь x, число степеней свободы f = n −1.

Плотность χ2-распределение зависит только от числа степеней свободы f (рис. 1). Так как χ2 ≥ 0, то плотность φ(χ2) рассматривают только в интервале (0,∞).

Рисунок 1 -Зависимость плотности χ2-распределения от числа степеней свободы ƒ

При доверительной вероятности 1− p двусторонняя доверительная оценка 2 1 / 2 2 2 χ p 2 ≤ χ ≤ χ − p. Односторонняя оценка 2 1 2 χ ≤ χ − p или 2 2 χ ≥ χ p.

Квантили 2 χ1− p для различных уровней значимости p даны в таблицах справочников для значений f =1–30. Если ()2 2 1 1 30,то 1 2 1 p 2 p f > χ − = f − +U − и U1 − p берут по таблице.

Связь между χ 2 и S 2 выражается формулой

(9)

т. е.

(10)

где f = n −1, отсюда

(11)

На практике при значениях f ≥ 30 распределение случайной величины считается нормальным, поэтому используется квантиль U1− p.

Для сравнения эмпирического распределения с предполагаемым нормальным распределением сравнивают числа n и npi. Оказывается, что при условии npi ≥ 5

(12)

имеет приближенно χ2-распределение с f = k − 3 степенями свободы (3 связи – две из них x и S, третья заключена в , k – число интервалов.

3. Критерий Колмогорова очень удобен, так как позволяет сравнивать графики интегральных функций распределения статистического и теоретического и получить величину

(13)

где D 1 – максимальная абсолютная величина разности между теоретической и эмпирической функциями распределения:

(14)

где n – объем выборки.

Если p − < 1 λ λ, найденного по таблице квантили p − 1 λ распределения Колмогорова, то функция соответствует выбранному уровню значимости p; если p − ≥ 1 λ λ, то не соответствует.