Модель роста Солоу (без технического прогресса)

Рассматривается однопродуктовая экономика. Пусть в этой экономике действует репрезентативный потребитель, который одновременно является производителем и владельцем факторов производства (экономика Робинзона Крузо). В экономике есть всего два фактора производства: труд и капитал, а выпуск в каждый момент времени t определяется производственной функцией: где F -производственная функция с постоянной отдачей от масштаба.

Рассматривается закрытую экономику без государственного сектора. Произведенная в момент t продукция может быть использована либо на потребление (C_t), либо на инвестиции (I_t):

(7)

Полученный доход потребитель распределяет между потреблением (C_t) и сбережениями (S _t), причем, сбережения являются некой фиксированной долей дохода:

(8) S_t=sY_t, где 0£ s £1.

Через s обозначена норма сбережения, не зависящая от дохода и момента времени t, то есть, мы будем считать s экзогенным параметром. Итак, , откуда с учетом (7) и (8) получают:

(9)

Считается, что капитал изнашивается с течением времени. d (0£d£1) обозначают норму амортизации капитала, полагая ее постоянной. Таким образом, валовые инвестиции равны сумме чистого прироста капитала и амортизационных расходов: , где -чистый прирост капитала. (Точкой сверху обозначена производная по времени). Подставляя выражение для инвестиций в (9), получают: (10)

Население в рассматриваемой экономике равно трудовым ресурсам и растет с постоянным темпом n: . Считается также, что в экономике имеет место полная занятость, то есть труд, стоящий в производственной функции, равен занятости.

Затем обе части уравнения (10) делятся на L_t и с учетом однородности первой степени функции F:

(11) .

Используют для анализа и единичные величины (в расчете на одного рабочего). Так через k обозначают капитал на одного рабочего или капиталовооруженность (kºK/L), а через f(k) – выпуск на одного рабочего или производительность труда (f(k) ºF(K/L,1)).

Тогда , отсюда и, следовательно, подставив в 11 получаем:

(12)

Уравнение (12) называют уравнением накопления капитала. В левой части уравнения стоит чистый прирост капиталовооруженности. Если сбережения на душу населения превышают инвестиции, необходимые для поддержания неизменной величины капиталовооруженности, то эти избыточные средства позволят увеличить запас капитала на душу населения.

Устойчивый уровень капиталовооруженности – это такой уровень капиталовооруженности работников, при котором инвестиции равны выбытию капитала.

Норма сбережения оказывает непосредственное влияние на устойчивый уровень капиталовооруженности. Чем выше норма сбережений, тем выше уровень инвестиций при любых уровнях капиталовооруженности.Увеличение нормы сбережений обеспечивает рост до тех пор, пока экономика не достигнет нового устойчивого состояния.

Устойчивое (стационарное) состояние в рассматриваемой модели предполагает ситуацию, в которой капитал на одного рабочего является неизменным: . Устойчивая величина капиталовооруженности k* определяется из условия: (13) .

Поскольку капиталовооруженность в стационарном состоянии неизменна, то производительность труда и потребление на одного работника также постоянны и равны: y*=f(k*), c*=(1-s)f(k*), соответственно. Это значит, что запас капитала, выпуск и потребление в устойчивом состоянии растут с тем же темпом, с которым растет население.

Устойчивое состояние в модели Солоу можно изобразить графически. Производственная функция f(k) вогнута и выходит из нуля. Кроме того, наклон f(k) в нуле равен бесконечности, а при больших k кривая f(k) становится пологой. Инвестиции, необходимые для поддержания постоянной капиталовооруженности, (n+ d )k изображены прямой линией, выходящей из нуля под углом, равным (n+ d ). Если первоначально экономика имеет капиталовооруженность k₀, то валовые инвестиции на одного работника (i) для этой экономики будут равны сбережениям в точке k₀. Чистые инвестиции на одного работника соответствуют расстоянию между кривой сбережений s f(k) и линией необходимых инвестиций (n+ d )k. Потребление на душу население с соответствует вертикальному отрезку между производственной функцией и функцией сбережений.