Финальных вероятностей

Для существования финальных вероятностей одного условия недостаточно, требуется выполнение ещё некоторых ус­ловий, проверить которые можно по графу состояний, выделив в нём так называемые существенные и несущественные состояния.

Определение. Состояние S_i называется существенным, если нет другого состояния S_j, т. е. такого, что, перейдя однажды каким-то способом из S_i в S_j, система уже не может вернуться в S_i.. Все состояния, не обладающие таким свойством, называются несущественными.

Рассмотрим примep, представленный на рисунке 2.3.

Рис. 2.3. Существенные и несущественные состояния системы

Состояния S_1, S₂ и S₅ – несущественные, так как из S₁ можно уйти, например, в состояние S₂ и не вернуться, а из состояния S₂ в состояние S₃ или S₄ и не вернуться, аналогично из состояния S₅ в состояние S₆ и S₇. Состояния S₃, S_4, S₆ и S₇ – существенные состояния.

Теорема. При конечном числе состояний для существования финальных вероятностей необходимо и достаточно, чтобы из каж­дого существенного состояния можно было (за какое-то число ша­гов) перейти в каждое другое существенное состояние.

Граф из примера (рис. 2.3) этому условию не удовлетворяет, так как из существенного состояния S₄ нельзя перейти в существенное состояние S₇.

Если система S имеет конечное число состояний,то для существования финальных вероятностей достаточно, чтобы из любого состояния системы можно было (за какое-то число шагов) перейти в любое другое состояние.

Если число состояний бесконечно, то это условие перестаёт быть достаточным, и существование финальных вероятностей зависит не только от графа состояний, но и от интенсивности .

2.5. Математическое представление потока событий

При исследовании непрерывных марковских цепей бывает удобно представить переход системы из состояния в состояние как воздействие каких-то потоков собы­тий (поток заявок на обслуживание, поток автомобилей, поток до­кументов и т. п.).

Поток событий представляет собой в общем случае просто последовательность случайных точек q₁, q₂,…, q_n,… на оси времени 0t (см. рис. 2.4) с разделяющими их случайными интервалами t₁, t₂,…, t_n-1, t_n,…, так что t₁ = q₂ – q_1, t₂ = q₃ – q_2,…, t_n = q_n+1 – q_n.

0 q₁ q₂ q₃ q_n-1 q_n q_n+1 t

Рис. 2.4. Представление потока случайных событий на временной оси

Потоки событий различаются между собой по их внутренней структуре: по законам распределения интервалов t₁, t₂,… между событиями. Для описания распределения интервалов между событиями могут использоваться различные законы распределения: нормальный, равномерный, экспоненциальный (наиболее часто используемый). Также потоки различаются по их взаимной зависимости или независимости и т. д.

С первого взгляда наиболее простым представляется поток событий, в котором интервалы между событиями строго одинаковы и равны определённой неслучайной величине t. Такой поток событий называется регулярным. Примеры регулярных потоков представляют собой поток изменений минутной цифры на вокзальных электронных часах, поток изменений состояний ЭВМ, определяемый тактом её работы и т. п.

Регулярный поток событий довольно редко встречается на практике. Он представляет определённый интерес как предельный случай для других потоков. Однако, несмотря на свою видимую простоту, регулярный поток не имеет преимуществ при проведении расчётов.