Моделирование систем массового обслуживания

Задачи массового обслуживания возникают, например, в сле­дующей ситуации. Пусть анализируется система технического обслуживания автомобилей, состоящая из некоторого количества станций различной мощности. На каждой из станций (элемен­те системы) могут возникать, по крайней мере, две типичные ситуации:

• число заявок слишком велико для данной мощности станции, возникают очереди, из-за задержки в обслуживании прихо­дится платить;

• на станцию поступает слишком мало заявок и теперь уже при­ходится учитывать потери, вызванные простоем станции.

Цель системного анализа в данном случае заключается в оп­ределении некоторого соотношения между потерями доходов по причине очередей и простоя станций, при котором суммарные потери окажутся минимальными.

Специальный раздел теории систем — теория массового об­служивания — для условий данной задачи позволяет:

• использовать методику определения средней длины очереди и среднего времени ожидания заказа в тех случаях, когда ско­рость поступления заказов и время их выполнения заданы;

• найти оптимальное соотношение между издержками по причи­не ожидания в очереди и простоя станций обслуживания;

• установить оптимальные стратегии обслуживания.

Главная особенность такого подхода к задаче системного ана­лиза — явная зависимость результатов анализа и получаемых рекомендаций от двух внешних факторов: частоты поступления и сложности заказов (а следовательно, и времени их исполнения). Но именно учет внешних факторов (внешней среды) является одним из важнейших требований системного анализа. Для его реализации необходимо провести исследование потоков заявок по их численности и сложности, найти статистические показа­тели этих величин, выдвинуть и оценить достоверность гипотез о законах их распределения. Лишь после этого можно пытаться анализировать, как будет вести себя система при данных внеш­них воздействиях, как будут меняться ее показатели (значения суммарных издержек) при разных управляющих воздействиях или стратегиях управления.

Такого рода задачи решаются не на реальной системе: слишком велик риск потерь заказчиков и/или неоправданный рост затрат на создание дополнительных станций обслуживания. Поэтому используется какой-либо подходящий метод математического моделирования систем, в частности метод статистических ис­пытаний, который больше известен как метод Монте-Карло. Он специально предназначен для моделирования случайных ве­личин с целью вычисления характеристик их распределений. Напомним, что корректное применение этого метода, как и всех других, в основе которых лежат вероятностные представления об изучаемых процессах, оправдано только в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание.

МЕТОДЫ АНАЛИЗА БОЛЬШИХ СИСТЕМ, ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Мы уже неоднократно отмечали, что предметной сферой сис­темного анализа являются по преимуществу системы, процессы и явления, для которых нет возможности исчерпывающим об­разом непротиворечиво описать элемент системы, подсистему и систему в целом на строгом формальном уровне, аналитически, используя системы уравнений или хотя бы неравенств. Иными словами, типичной является ситуация, когда не удается построить чисто математическую модель объекта исследования на любом уровне — элемента системы, подсистемы или системы в целом. По этой причине (с точки зрения формализованного модели­рования) системы и процессы социального порядка называют «плохо организованными» или «слабо структурированными».

Развитие науки сложилось так, что в течение почти 200 лет после Ньютона считалось незыблемым положение о возможнос­ти чистого или однофакторного эксперимента. Предполагалось, что для выяснения зависимости Y = f(X) даже при очевидной зависимости Yот целого ряда других переменных всегда можно стабилизировать все переменные, кроме X, и найти «чистую» взаимосвязь между X и Y.

Лишь сравнительно недавно (в работах В.В. Налимова) плохо организованные или, как их еще называют — большие систе­мы вполне «законно» стали считаться особой средой, в которой неизвестными являются не только связи внутри системы, но и сами элементарные процессы.

Анализ таких систем (в первую очередь социальных, а значит, и экономических) возможен при единственном, научно обосно­ванном подходе — признании скрытых, неизвестных причин, законов и процессов. Часто такие причины называют латентными факторами, а особые свойства, порожденные ими, — латент­ными признаками.

Обнаружилась и считается также общепризнанной возмож­ность анализа таких систем с использованием двух принципиально различных подходов или методов.

Первый из них может быть назван методом многомерного ста­тистического анализа. Этот метод был обоснован и применен видным английским статистиком Р. Фишером в 20-30-е гг. XX века. Дальнейшее развитие многомерной математической статистики как науки и основы многих практических приложений считает­ся причинно связанным с появлением и совершенствованием компьютерной техники. Если в 1930-е гг. при ручной обработке данных удавалось решать задачи с учетом двух-трех независимых переменных, то в 1965 г. решались задачи с шестью переменными, а к 1970—1980-м гг. их число уже приближалось к 100.

Второй метод принято называть кибернетическим, или винеровским, связывая его название с именем основателя кибернетики Н. Винера. Краткая сущность этого метода — чисто логический анализ процесса управления большими системами. Рождение этого метода было вполне естественным: коль скоро признается су­ществование плохо организованных систем, то логично ставить вопрос о поиске методов и средств управления ими.

Интересно, что оба метода, несмотря на совершенное разли­чие между собой, могут применяться и с успехом применяются при системном анализе одних и тех же систем.

Так, например, интеллектуальная деятельность человека изу­чается фишеровским методом: многие психологи, как иронически замечал В.В. Налимов, уверены, что им удастся разобраться в результатах многочисленных тестовых испытаний.

С другой стороны, построение так называемых систем ис­кусственного интеллекта представляет собой попытки созда­ния компьютерных программ, имитирующих поведение человека в области умственной деятельности, то есть применение винеровского метода.

Нетрудно понять, что все социальные системы, в том числе и экономические, следует отнести именно к плохо организован­ным, прежде всего, потому, что важнейшим звеном этих систем является человек. Поэтому совершенно ясно, что при использо­вании системного анализа в исследованиях социальных процес­сов (в том числе и экономических) всегда требуется «натурный» эксперимент.

В простейшем случае речь может идти о некотором элементе социальной системы, о котором нам известны лишь его «входные» характеристики, внешние воздействия (что нужно для нормаль­ного функционирования элемента) и «выходные» его реакции (что должен «делать» этот элемент).

В каком-то смысле плодотворной является идея «черного ящика». Беря эту идею на вооружение, мы признаемся, что не в состоянии проследить процессы внутри элемента, и надеемся построить его модель без таких знаний.

Напомним классический пример — незнание процессов пищеварения в организме человека не мешает нам организовы­вать свое питание по «входу» (потребляемые продукты, режим питания) с учетом «выходных» показателей (веса тела, самочувствия).

В соответствии с указанной идеей, можно организовать вполне конкретную программу в части «что делать»: подавать на вход элемента разные внешние управляющие воздействия и измерять его реакции на эти воздействия. Точно так же надо вполне от­четливо представлять себе цели этого занятия: что мы надеемся получить. Вопрос этот непростой. Очень редко можно позволить себе просто удовлетворить свое любопытство.

Как правило, эксперименты над реальной экономической системой являются вынужденными, связанными с определенными затратами на сам эксперимент и, кроме того, с возможным рис­ком непоправимых отрицательных последствий. Теоретическое обоснование и методика действий в таких ситуациях составляют предмет особой отрасли кибернетики — теории планирования эксперимента.

Принятая в его рамках терминология такова:

• все, что подается на вход элемента, называется управляющими воздействиями или просто воздействиями;

• все, что получается на выходе элемента, называется реак­циями;

• если можно выделить в системе (или подсистеме) несколько (в некотором смысле) однотипных элементов, то их совокуп­ность будет называться блоком;

• содержательное описание собственных действий по отноше­нию к элементам блока называется планом эксперимента.

Очень важно понять цель планируемого эксперимента. В конце концов, мы можем и не получить никакой информации о сущ­ности процессов в цепочке «вход—выход» в самом элементе.

Но если обнаружится полезность некоторых доступных нам воздействий на элемент и мы убедимся в надежности полученных результатов, то будет достигнута главная цель — определится оптимальная стратегия управления элементом. Нетрудно сообра­зить, что понятие «управляющее воздействие» очень широко: от самых обычных приказов до подключения к элементу источников энергетического или информационного питания.

Оказывается, что уже само составление плана эксперимента требует определенных познаний и некоторой квалификации. Опыт показывает целесообразность включения в план следующих четырех компонентов:

• описание множества стратегий управления, из которых необходимо выбрать наилучшую;

• спецификация или детальное сравнительное описание эле­ментов блока;

• правила размещения стратегий на блоке элементов;

• спецификация выходных данных, позволяющих оценивать эф­фективность элементов.

Внимательное рассмотрение компонентов плана эксперимента позволяет заметить, что для его реализации требуются знания в различных областях науки. Так, при выборе управляющих воздействий не обойтись без минимальных знаний в области технологии, очень часто нужны знания в области юриспруденции, экологии. Для реализации третьего компонента совершенно необходимы знания в области математической статистики, так как приходится использовать понятия распределений случайных величин, их математических ожиданий и дисперсий. Вполне могут возникнуть ситуации, требующие применения непараметрических методов статистики.

Одним из наиболее популярных методов, который использу­ется при планировании экспериментов, является рандомизация плана эксперимента с помощью латинского квадрата, обеспе­чивающего возможность перебора всех комбинаций n ² чисел, расположенных в квадрате n х n. В такой таблице каждая строка и каждый столбец содержат числа 1, 2, 3,..., n. Например, для n = 3 латинский квадрат может иметь такой вид:

2 3 1

3 1 2

1 2 3

Числами в данном случае могут обозначаться номера воз­можных стратегий управления.