Аппроксимация и интерполяция в электротехнике

Лекция №6

АППРОКСИМАЦИЯ И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
ЗАВИСИМОСТЕЙ

Аппроксимация и интерполяция в электротехнике

В процессе математического моделирования приходится вычислять значения функций, входящих в математическое описание модели. Для сложных моделей такие расчеты могут оказаться трудоемкими даже при использовании ЭВМ. Также в математических моделях часто используются функциональные зависимости, аналитические выражения для которых неизвестны. Примером таких зависимостей, широко используемых в электротехнике, могут служить зависимости между индукцией магнитного поля В и напряженностью магнитного поля Н для специальных электротехнических сталей. Для каждого сорта стали эти зависимости получают опытным путем, изменяя с определенным шагом напряженность Н и замеряя полученное значение индукции В. По результатам опытов строят таблицы значений Н и В. Данные таблицы применяются для расчетов электрических машин и аппаратов на производстве и при математическом моделировании данных устройств.

Основной недостаток табличного задания функциональных зависимостей по сравнению с аналитическим - отсутствие информации о значении функции в промежуточных точках. Сказанное выше можно отнести ко всем имеющим дискретный характер зависимостям, например, к результатам численного моделирования, так как расчет всегда ведется с определенным шагом аргумента. При использовании дискретных зависимостей встают по крайней мере, две проблемы - определение значения функции в промежуточных точках и экономия оперативной памяти ЭВМ при их использовании в математическом моделировании (см. главу 1).

Данные проблемы решают следующим образом. Функцию f(x), известную аналитически или таблично, заменяют более простой функцией , которую нетрудно вычислять при любом значении аргумента х в заданном интервале его изменения. Приближение функции f(x) более простой функцией называется аппроксимацией (от латинского approximo - приближаюсь). Частным случаем аппроксимации является интерполяция (от латинского inter - между, внутри и pole - узел). При интерполяции значения совпадают со значениями аппроксимируемой функции f(x) в узлах таблицы. На рис.6.1 приведены примеры простейшей кусочно-линейной интерполяции (а) и кусочно-линейной аппроксимации (б). При интерполяции отрезки прямых (y=ax+b) соединяют известные точки исходной зависимости. Значения функции внутри любого промежутка принимаются равными соответствующим значениям отрезков прямых. На каждом k- м участке имеем для промежуточных значений функции уравнение прямой (рис.6.1, а):

. (6.1)

При кусочно-линейной аппроксимации (рис.6.1,б) количество прямолинейных отрезков, их длина и наклон выбираются по определенным критериям. О некоторых из них будет сказано ниже. Как видно, при кусочно-линейной интерполяции необходимо для расчета промежуточных значений функции хранить в памяти информацию обо всех точках кривой. При аппроксимации же в нашем случае достаточно хранить координаты точек А,B и С и рассчитывать промежуточные значения по формуле (6.1), подставляя при необходимости координаты соответствующих точек.

Программная реализация кусочно-линейной аппроксимации и интерполяции проста. На практических занятиях студенты самостоятельно реализуют методы, оформив их в виде соответствующих процедур.

При использовании в задачах электротехники кусочно-линейных аппроксимации и интерполяции следует учитывать, что в точках сопряжения прямых первая производная приближающей функции делает скачок, а остальные производные равны нулю. Ниже приводятся методы интерполяции и аппроксимации, которые позволяют получить непрерывные производные приближающей функции .