Уравнение Я. Бернулли

Уравнение вида Р(х;у)·dx + Q(х;у)·dу = 0 (10)

называется уравнением Бернулли. Покажем, что его можно привести к линейному.

Если n = 0, то ДУ (10) — линейное, а при n=1 с разделяющимися переменными.

В общем случае, разделив уравнение (15) на уⁿ≠0, получим

у'·у^–n + р(х)· у^–n+1 = q(х) (11)

Обозначим у^-n+1 = z. Тогда z ′= =(1 – n)· у'·у^–n.

Отсюда находим у'·у^–n = .

Уравнение (11) принимает вид

Последнее уравнение является линейным относительно z. Решение его известно. Таким образом, подстановка z = у^-n+1 сводит уравнение (10) к линейному. На практике ДУ (10) удобнее искать методом И. Бернулли в виде у = u·v (не сводя его к линейному).

Практическое занятие