Метод И. Бернулли

Решение с помощью подстановки у = u·v, где u = u(х) и v = v(х) — неизвестные функции от х, причем одна из них произвольна (но не равна нулю)

у(х) = ,

где v(х) ≠ 0. Тогда у' = u'·v + v'·u. Подставляя выражения у и у' в уравнение (6), получаем:

u'·v + u·(v' + р(х)·v) = q(х) (7)

Подберем функцию v = v(х) так,чтобы выражение в скобках было равно нулю, т. е. решим ДУ v' + р(х)·v = 0. Т.о. + р(х)·v = 0, т. е. = – р(х)·dx.

Интегрируя, получаем:

Ввиду свободы выбора функции v(х), можно принять с = 1.

Отсюда

Подставляя найденную функцию v в уравнение (7), получаем

Получено уравнение с разделяющимися переменными. Найдем его решение:

, ;

Возвращаясь к переменной у, получаем решение исходного ДУ.

(8)

Пример 1. Проинтегрировать уравнение у' + 2х·у = 2х.

Решение: Пусть у = u·v. Тогда u'·v + v'·u = 2х· u·v = 2х, т.е. u'·v + u(v' + 2х·v) = 2х.

Сначала решаем уравнение v' + 2х·v = 0:

,

Теперь решаем уравнение т.е. , , . Общее решение данного уравнения - т.е.