2015-05-10
491
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
Цель работы:
Исследование статистическими методами сходимости по вероятности выборочного среднего.
Основные соотношения:
Выборочное среднее 
с точки зрения математической статистики есть среднее арифметическое независимых одинаково распределенных случайных величин 
. Следовательно, если для генеральной существуют конечные математическое ожидание и дисперсия, то для выборочного среднего справедлив закон больших чисел Чебышева.
Теорема (Закон больших чисел в форме Чебышева). Если 
- последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин, имеющих конечные математическое ожидание 
и дисперсию 
, то среднее арифметическое этих величин сходится по вероятности к их математическому ожиданию:
,
или, для любого 
: 
при 
.
Статистически данное утверждение можно проверить следующим образом. Генерируем последовательности случайных величин разной длины, вычисляем среднее значение для каждой последовательности и сравниваем с математическим ожиданием величин (поскольку мы сами генерируем случайные последовательности, то математическое ожидание генеральной совокупности нам известно). Если условия теоремы Чебышева выполняются, то с ростом 
величина отклонения выборочного среднего 
от математического ожидания величин должна в среднем уменьшаться. Чтобы учесть случайный характер отклонений, следует для каждой длины последовательности генерировать несколько выборок (последовательностей) значений и сравнивать либо средние значения отклонений для выборок различного объема, либо величины разброса значений 
. Кроме того, если наблюдается сходимость по вероятности, то всегда можно для заданной величины отклонения 
и вероятности 
определить необходимый объем выборки N, так, чтобы 
. Это можно сделать, например, используя центральную предельную теорему (ЦПТ). Согласно ЦПТ, если 
- независимые и одинаково распределенные случайных величины, имеющих конечные математическое ожидание 
и дисперсию , то их среднее (при 
) имеет приближенно нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией 
. Тогда:
,
где 
- функция Лапласа. Разрешив уравнение:
относительно n, получим необходимый объем выборки N. Определив N, можно убедиться, что величина отклонения не превышает (с вероятностью ), сгенерировав несколько последовательностей длиной N и подсчитав для каждой из них величину отклонения выборочного среднего от математического ожидания.
Если для генеральной совокупности не существует конечного математического ожидания, то сходимость выборочного среднего в этом случае не должна наблюдаться (то есть разброс значений выборочных средних в этом случае с ростом объема выборок не должен уменьшаться).
