Сущность мостового метода

БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Методические указания к выполнению лабораторной работы № 6 по электричеству

ИЗУЧЕНИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МОСТОВ И ИХ

ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

УФА – 2004

Печатается по решению кафедры общей физики

от 1 июля 2004г., протокол №6

Составители:

ИЗУЧЕНИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МОСТОВ И ИХ

ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ.

Цель работы: изучить практически одинарный и двойной мосты постоянного тока и правила пользования ими, освоить мостовые схемы переменного тока и научиться измерять емкости и индуктивности методом сравнения.

Приборы и принадлежности: одинарный мост постоянного тока, двойной мост постоянного тока, источник питания, измеряемые сопротивления; мосты: измерительный мост переменного тока, конденсаторы постоянной емкости, катушки индуктивности, катушка взаимной индуктивности.

Сущность мостового метода

Важным классом устройств, предназначенных для измерения параметров электрических цепей (сопротивления, емкости, индуктивности)МЕТОДОМ СРАВНЕНИЯ являются мосты.

Сравнение измеряемой величины с образцовой производится при уравновешенном мосте и может осуществляться вручную или автоматически, на постоянном и переменном токе.

рис. 1 рис.2

В простейшем случае мостовая схема содержит 4 резистора, соединенных в кольцевой замкнутый контур. Такую схему имеет одинарный мост постоянного тока (рис.1). Резисторы R₁, R₂, R₃, R₄ этого контура называются ПЛЕЧАМИ моста, а точки соединения соседних плеч 1, 2, 3, 4 – ВЕРШИНАМИ моста. Цепи, соединяющие противоположные вершины, называют диагоналями. Одна из диагоналей (3-4) содержит источник питания GB, а другая (1-2) – указатель равновесия PG. В случае переменного тока, плечи моста могут включать в себя не только резисторы, но также конденсаторы и катушки индуктивности, т.е. сопротивления могут иметь комплексный характер.

Мост называется УРАВНОВЕШЕННЫМ, если разность потенциалов между точками 1 и 2 равна нулю и ток через индикатор равен нулю.

Соотношение между сопротивлениями плеч, при котором мост уравновешен, называется УСЛОВИЕМ РАВНОВЕСИЯ моста. Это условие можно получить, используя законы Кирхгофа для расчета мостовой схемы.

Правила Кирхгофа

Для упрощения расчетов сложных электрических цепей, содержащих неоднородные участки, используются правила Кирхгофа, которые являются обобщением закона Ома на случай разветвленных цепей.

В разветвленных цепях можно выделить узловые точки (узлы), в которых сходятся не менее трех проводников. Токи, втекающие в узел, принято считать положительными; токи, вытекающие из узла – отрицательными.

рис. 3 Узел электрической цепи. I1, I2 > 0; I3, I4 < 0

В узлах цепи постоянного тока не может происходить накопление зарядов. Отсюда следует ПЕРВОЕ ПРАВИЛО КИРХГОФА:

Алгебраическая сумма сил токов для каждого узла в разветвленной цепи равна нулю: I₁ + I₂ + I₃ +... + I_n = 0.

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения электрического заряда.

В разветвленной цепи всегда можно выделить некоторое количество замкнутых путей, состоящих из однородных и неоднородных участков. Такие замкнутые пути называются контурами. На разных участках выделенного контура могут протекать различные токи. На рис. представлен простой пример разветвленной цепи. Цепь содержит два узла a и d, в которых сходятся одинаковые токи; поэтому только один из узлов является независимым (a или d).

рис. 4 Пример разветвленной электрической цепи. Цепь содержит один независимый узел (a или d) и два независимых контура (например, abcd и adef).

В цепи можно выделить три контура abcd, adef и abcdef. Из них только два являются независимыми (например, abcd и adef), так как третий не содержит никаких новых участков.

Второе правило Кирхгофа является следствием обобщенного закона Ома.

Запишем обобщенный закон Ома для участков, составляющих один из контуров цепи, изображенной на рис. 4.10.2, например, abcd. Для этого на каждом участке нужно задать положительное направление тока и положительное направление обхода контура. При записи обобщенного закона Ома для каждого из участков необходимо соблюдать определенные «правила знаков», которые поясняются на рис.

рис. 5 «Правила знаков».

Для участков контура abcd обобщенный закон Ома записывается в виде:

Для участка bc: I₁R₁ = Δφ_bc – ₁.

Для участка da: I₂R₂ = Δφ_da – ₂.

Складывая левые и правые части этих равенств и принимая во внимание, что Δφ_bc = – Δφ_da, получим: I₁R₁ + I₂R₂ = Δφ_bc + Δφ_da – ₁ + ₂ = – ₁ – ₂.

Аналогично, для контура adef можно записать: – I₂R₂ + I₃R₃ = ₂ + ₃.

ВТОРОЕ ПРАВИЛО КИРХГОФА можно сформулировать так: алгебраическая сумма произведений сопротивления каждого из участков любого замкнутого контура разветвленной цепи постоянного тока на силу тока на этом участке равна алгебраической сумме ЭДС вдоль этого контура.

Первое и второе правила Кирхгофа, записанные для всех независимых узлов и контуров разветвленной цепи, дают в совокупности необходимое и достаточное число алгебраических уравнений для расчета электрической цепи. Для цепи, изображенной на рис. 4.10.2, система уравнений для определения трех неизвестных токов I₁, I₂ и I₃ имеет вид: I₁R₁ + I₂R₂ = – ₁ – ₂, – I₂R₂ + I₃R₃ = ₂ + ₃, – I₁ + I₂ + I₃ = 0.

Таким образом, правила Кирхгофа сводят расчет разветвленной электрической цепи к решению системы линейных алгебраических уравнений. Это решение не вызывает принципиальных затруднений, однако, бывает весьма громоздким даже в случае достаточно простых цепей. Если в результате решения сила тока на каком-то участке оказывается отрицательной, то это означает, что ток на этом участке идет в направлении, противоположном выбранному положительному направлению.

Применим правила Кирхгофа для расчета условия равновесия одинарного моста постоянного тока.

рис. 6 Схема одинарного моста постоянного тока.

Сопротивления и выбранные направления токов даны на рисунке, сопротивлением подводящих проводников пренебрегаем. Узлов в нашей схеме 4: A, B, C, D.

Токи, подходящие к узлу, условимся считать положительными, а выходящие – отрицательными.

Запишем первую систему уравнений Кирхгофа:

для узла А: I₀-I₁-I₃=0

для узла В: I₁+I₅-I₂=0

для узла D: I₃-I₅-I₄=0

Вторую систему запишем для контуров ABDA, BCDB, ADCEA. обходя каждый из этих контуров по часовой стрелке, получим:

для контура ABDA: I₁R₁-I₅R_g-I₃R₃=0

для контура BCDB: I₂R₂-I₄R₄+I₅R_g=0

для контура ADCEA: I₃R₃+I₄R₄-U=0

Данная система уравнений позволяет найти ток через гальванометр.

(1)

Ток J_G=0 при

R₁R₄=R₂R₃ (2)

Условие (2) - условие равновесия одинарного моста постоянного тока: произведения сопротивлений противоположных плеч должна быть равны.

Если сопротивление одного из плеч неизвестно, например R₁, то условие (2) будет иметь вид: R_x =R₂*R₃/R₄.

Таким образом, измерение при помощи одинарного моста можно рассматривать как сравнение неизвестного сопротивления R_x с образцовым сопротивлением R₂ при сохранении неизменным отношения R₃/R₄.

По этой причине плечо R₂ называют ПЛЕЧОМ СРАВНЕНИЯ, плечи R₃ и R₄ - ПЛЕЧАМИ ОТНОШЕНИЯ.

Одинарные мосты могут работать также при переменном токе. В этом случае сопротивления плеч являются комплексными. Обобщенная схема моста переменного тока представлена на рис. 2. Индикатором нуля обычно служитэлектронный милливольтметр. Возможно использование электронного индикатора нуляна базе электроннолучевой трубки. Электронные индикаторы имеют очень большое входное сопротивление, что выгодно отличает их от электромеханических устройств, например, вибрационного гальванометра.

Аналогично соотношению (2) условие равновесия одинарного моста имеет вид:

Z₁Z₄=Z₂Z₃ (3)

где Z₁,Z₄,Z₂,Z₃ - комплексные сопротивления плеч.

Как известно, любое комплексное число Z можно представить в показательной форме: Z=ze ^jy Используя это представление, получим вместо условия (3) равенство:

(4)

которое справедливо только в том случае, если выполняются вытекающие из него соотношения:

Z₁Z₄=Z₂Z₃ (5)

y₁+y₄=y₂+y₃ (6)

Условие (5), требующее равенства произведений модулей комплекс ных сопротивлений противоположных плеч, дополняется условием (6), налагающим требования равенства сумм их аргументов. Только одновременное выполнение соотношений (5) и (6) обеспечивает равенство нулю напряжения на диагонали 1-2, в которую включен индикатор нуля PV (рис. 2).

Условие равновесия можно записать иначе, если воспользоваться не показательной, а алгебраической формой представления комплексных чисел Z=R+jX, где R и Х - вещественная и мнимая части соответственно. В нашем случае символом Z обозначено комплексное сопротивление, а R и Х представляют собой активную и реактивную составляющие. В алгебраической форме условие (3) перепишется в форме:

(R₁+jX₁)(R₄+jX₄)=(R₂+jX₂)(R₃+jX₃) (7)

Это равенство выполняется, если справедливы равенства для активных и реактивных частей:

R₁R₄-X₁X₄=R₂R₃-X₂X₃ (8)

R₁X₄+R₄X₁=R₂X₃+R₃X₂ (9)

Вновь требуется одновременное выполнение соотношений (8) и (9).

Две пары равенств (5), (6) и (8,9) полностью равноправны, и выбор того или другого определяется соображениями удобства при расчетах конкретных мостовых схем. Чтобы обеспечить выполнение двух условий одновременно, необходимо иметь не менее двух регулируемых элементов. Ими чаще всего являются резисторы и конденсаторы, поскольку они допускают более точную регулировку, чем катушки индуктивности. На практике важно, чтобы мост можно было бы быстро, с наименьшим числом элементарных операций по регулировке, уравновесить. Число таких операций характеризует "сходимость" моста. Правильный выбор регулируемых элементов и их положения в плечах моста обеспечивает наилучшую сходимость, а следовательно, и наименьшее время измерений.