Пусть ЭМС описывается некоторой неоднородной СДУ, и в зависимости от режима работы ЭМС заданы начальные условия для переменных состояния . Тогда для этой СДУ решение задачи Коши классическим способом может быть найдено по следующему алгоритму:
1. Выписать однородную систему, соответствующую заданной неоднородной, и найти ее общее решение .
2. Найти частное решение неоднородной системы.
3. Записать общее решение в виде суммы: .
4. Найти частное решение неоднородной СДУ, удовлетворяющее заданным начальным условиям .
Другими словами четвертый этап состоит в нахождении постоянных интегрирования. Несмотря на то, что в классическом курсе математики постоянные интегрирования обозначают через букву C, будем обозначать постоянные интегрирования буквой N для того, чтобы не перепутать их с ёмкостью конденсатора или коэффициентом связи двигателя постоянного тока.
Пункт 1. При решении однородных СДУ наиболее удобным является метод сведения решения системы к задаче отыскания собственных значений и собственных векторов матрицы коэффициентов СДУ. Его алгоритм следующий:
|
|
1. Записать матрицу A коэффициентов перед неизвестными СДУ.
2. Найти собственные значения и собственные вектора матрицы A. При этом число полученных линейно независимых собственных векторов матрицы A должно равняться порядку СДУ. В противном случае система должна решаться другим методом (например, метод исключения неизвестных или метод неопределенных коэффициентов).
3. Выписать все компоненты решения СДУ в зависимости от типа корней.
Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы A:
1. Записать уравнение , где E – единичная матрица:
λ – собственные значения матрицы A, и решить его. Данное уравнение называется характеристическим.
2. Для каждого полученного собственного значения , составить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
или
где – собственный вектор, соответствующий собственному значению .
3. Решить систему для каждого значения , то есть найти собственный вектор , соответствующий каждому собственному значению.