Лабораторная работа №2. «Проверка гипотезы о законе распределения»

Цель работы: проверить гипотезу о нормальном законе распределения для функции времени наработки на отказ.

Проверка гипотезы о виде распределения строиться на основе нулевой гипотезы о том, что случайная величина X имеет заданную функцию распределения F(x). Выборка х,, х₂, х_п разбивается на к интервалов. Пусть n_t — число элемен­тов выборки, попавших в i -й интервал; i = 1,2, к. Используя предполагаемый закон распределения с учетом оценок парамет­ров этого закона (среднее и среднеквадратичное отклонение), найденных по выборке, можно найти вероят­ность p_i попадания случайной величины X в i-й интервал. Для проверки рассматриваемой гипотезы используется статистика

которая распределена по закону хи-квадрат с числом степеней свободы (к — l — 1), где l — число неизвестных параметров рас­пределения, оцениваемых по выборке: например, для нормаль­ного распределения 1=2, так как оцениваются два параметра т и σ. Нулевая гипотеза не противоречит опытным данным, если выборочное значение статистики не превышает квантили распределения хи-квадрат (к — l — 1). Рассмотренный ме­тод проверки гипотезы о виде распределения называется крите­рием согласия хи-квадрат.

Исходными данными для проверки гипотезы нормального распределения являются гистограмма лабораторной работы №1.

При использовании критерия хи-квадрат количество опытных значений в каждом интервале дол­жно быть не менее пяти. Если в каком-то интервале их меньше, то интервалы объединяют.

Расчетные частоты Np_i формуле вычисляются через вероятности попадания нормально распределенной величины в соответствующий интервал:

где функция стандартного нормального распределения Ф() вы­числяется с помощью встроенной статистической функции НОРМРАСП(х, среднее значение т, стандартное отклонение, σ, интегральный).

Аргументы этой функции х — правая грани­ца интервала, вводится адрес соответствующей ячейки; т (сред­нее) и стандартное отклонение вводятся абсолютные адреса характеристик, полученных с помощью Описательной статисти­ки; значение интегральный = 1 (истина), в противном случае (ложь) вычисляется не функция распределения, а его плотность.

В ячейке ХИ2РАСЧЕТ определена величина критерия хи-квадрат как сумма ячеек столбца Расчет.

Расчеты выполняются в табличной форме.

№	x	ni	F(x)	pi	Npi	расчет
	67,762		0,022213	0,022213	2,887743	0,004364
	86,223		0,087303	0,065089	8,461632	0,025185
	104,684		0,240385	0,153083	19,90073	0,482671
	123,145		0,479035	0,23865	31,02451	1,94E-05
	141,606		0,725718	0,246683	32,06878	3,820471
	160,067		0,894789	0,16907	21,97912	2,242707
	178,528			0,105211	13,67749	0,127877
			∑
					ХИ2РАСЧЕТ	6,703294
	Среднее	124,6325			ХИ2ОБР	9,487729
	Ст откл	28,2932

· Х – правые границы интервалов;

· n – частоты;

· F(x) – функция нормального распределения НОРМРАСП(х, среднее, ст. откл). Расчет F(x) производится для всех интервалов кроме последнего;

· р – вероятность. В первом диапазоне р₁ = F(x₁). В диапазоне со 2 по 6 интервал вероятность определяется по формуле р_i = F(x_i) - F(x_i-1). Для последнего интервала вероятность определяется по формуле р₇ = 1 - F(x₆). Правильность расчета частот проверяется суммирование данного столбца. Сумма должна равняться 1.

· Np – расчетная частота определяется по формуле N*p, где N – объем выборки. Сумма столбца Np должна равняться N.

· Расчет – по формуле (n – Np)^2/Np. Сумма в столбце «Расчет» равна расчетное значение статистики хи-квадрат.

· ХИ2ОБР – критическое значение статистики хи-квадрат.

Граница критической области — квантиль распределения хи-квадрат может быть найдена с помощью встроенной функции ХИ20БР (вероятность, степени свободы). Аргумент вероятность — это уровень значимости (а = 0,05), а степени свободы к — l — 1 определяются как количество интервалов за вычетом количества оцениваемых параметров (здесь — два: т и σ) минус единица.

Гипотеза о нормальности распределения принимается, если выборочное значение статистики ХИ2ТЕСТ окажется меньше критического ХИ20БР.