Метод Гаусса (метод исключений). Идея метода состоит в последовательном исключении неизвестных из системы n линейных уравнений.Метод Гауссасодержит два этапа: прямой ход

Идея метода состоит в последовательном исключении неизвестных из системы n линейных уравнений. Метод Гаусса содержит два этапа: прямой ход, в процессе которого исходная система приводится к треугольному виду, и обратный ход – решение системы уравнений с треугольной матрицей.

Прямой ход.

На примере первого уравнения системы (1) рассмотрим выражение для x ₁:

.

Подставим выражение для x ₁ во второе и все остальные уравнения системы:

Для расширенной матрицы коэффициентов это означает, что каждый элемент первой строки следует поделить на диагональный элемент, а все остальные строки преобразовать, как показано выше. Таким образом, станут равны нулю все коэффициенты первого столбца, лежащие ниже главной диагонали. Затем аналогичная процедура проводится со второй строкой матрицы и нижележащими строками, при этом первая строка и первый столбец уже не изменяются. И так далее до тех пор, пока все коэффициенты, лежащие ниже главной диагонали, не будут равны нулю.

В результате приходим к эквивалентной системе с треугольной матрицей:

………. (2)

Общие формулы прямого хода:

k = 1… n, j = 1… n +1. Звездочкой отмечены элементы k -й строки с измененными значениями, которые будут подставлены в следующую формулу. Для определенности будем считать первый индекс – по строкам, второй – по столбцам.

i = k +1… n, j = 1… n +1, k фиксировано в уравнении (3). Для уменьшения количества действий достаточно изменять значения элементов, находящихся выше главной диагонали.

Умножим это уравнение последовательно на , и вычтем из третьего,...,n-го уравнения системы, получим

где элементы системы получены по формулам

, ()

, (, )

Продолжая этот процесс после n шагов получим преобразованную исходную систему

Таким образом, на -м шаге прямого хода коэффициенты , системы вычисляются по формулам

, (, ) (1)

а коэффициенты , () вычисляются по формулам

, (, ) (4)

причем

Обратный ход.

Второй этап решения СЛАУ методом Гаусса состоит в последовательном определении x _k, начиная с x _n, так как для последнего решение фактически получено.

Решение системы находят по рекуррентным формулам:

На обратном ходе вычисляют неизвестные в обратном порядке. Из последнего уравнения системы имеем , ,...,

Таким образом, вычисление неизвестных выполняется по формуле

() (3)

с известным .

2. Решение систем линейных уравнений методом итераций