Упражнение 4. а) Пусть ряд сходится, расходится

а) Пусть ряд сходится, расходится. Что можно сказать о сходимости ряда ? Проиллюстрируйте Ваше предположение на примере, используя М-файл из упр. 1.

По правилу то что если отбросить конечный число членов вчеравно график будет (сходиться) расходиться следует что график всерано будет расходиться

1) + . Первый расходящийся второй сходяшийся

clear

i=100000;

n=1:1:i;

f= 1./(n)+ 1./(n.*n);

s(1)=f(1);

m=0.01;

for k=2:i;

s(k)=s(k-1)+f(k);

end

subplot(1,2,1);

plot (n,f,'m')

axis([i-10 i f(i-5)-m f(i-5)+m])

subplot(1,2,2);

plot (n,s,'g')

axis([i-100 i s(i-100)-m s(i-5)+m])

s(i-3)

s(i-2)

s(i-1)

s(i)

По графику видим расходиться

б) Пусть ряды и расходятся. Что можно сказать о сходимости ряда ? Проиллюстрируйте Ваши предположения на примерах, используя М-файл из упр. 1.

Возьмем два расходищихся ряда –f(n) и f(n). Их сумма будет сходиться что понятно и без иллюстраций.

Упражнение 5. Опираясь на признаки сходимости, доказать:

а) ряд расходится; б) ряд сходится;

в) ряд расходится; г) ряд сходится.

Письменно

Упражнение 6. Пусть к ряду применимо утверждение об оценке ряда. Создайте M-функцию, которая оценивает число членов, достаточное для вычисления суммы ряда с заданной точностью , и вычисляет сумму ряда с заданной точностью. В качестве входных параметров M-функции используйте формулу общего члена последовательности и точность . Применить созданную М-функцию для вычисления с точностью до 0,001 суммы ряда:

а)

i=100000;

e=0.001;

k=2;

f(1)=1/2;

s(1)=f(1);

m=0.01;

f(2)= 1/2;

s(2)=f(1)+f(2);

q=3/4;

while f(k)/(1-q) > e

k=k+1;

f(k)= k/(2^k);

s(k)=s(k-1)+f(k);

end

s(k-1)

k-1

ans =

1.9997

k =

б)

i=100000;

e=0.001;

k=2;

f(1)=1;

s(1)=f(1);

m=0.01;

f(2)= 1/factorial(2);

s(2)=f(1)+f(2);

q=f(2)/f(1);

while f(k)/(1-q) > e

k=k+1;

f(k)= 1/factorial(k);

s(k)=s(k-1)+f(k);

end

s(k-1)

k-1

ans =

1.7183

k =

Упражнение 7. Создать M-функцию, которая оценивает число членов знакочередующихся рядов, достаточное для вычисления суммы ряда с заданной точностью , и вычисляет сумму ряда с заданной точностью. В качестве входных параметров M-функции использовать формулу общего члена последовательности и точность .

Для следующих рядов доказать сходимость и применить созданную М-функцию для вычисления с точностью до 0,001 суммы ряда:

а)

e=0.001;

k=1;

f(1)=1;

s(1)=f(1);

while abs(f(k)) > e

k=k+1;

f(k)=((-1)^(k+1))/k;

s(k)=s(k-1)+f(k);

end

s(k-1)

k-1

ans =

0.6936

ans =

б) .

e=0.001;

k=1;

f(1)=1;

s(1)=f(1);

while abs(f(k)) > e

k=k+1;

f(k)=((-1)^(k+1))/(2^k);

s(k)=s(k-1)+f(k);

end

s(k-1)

k-1

ans =

0.8340

ans =

Упражнение 1С. Для рядов

1) ;

clear

i=100000;

n=1:1:i;

f= (3/10).^n;

s(1)=f(1);

m=0.01;

for k=2:i;

s(k)=s(k-1)+f(k);

end

subplot(1,2,1);

plot (n,f,'m')

axis([i-1000 i f(i-5)-m f(i-5)+m])

subplot(1,2,2);

plot (n,s,'g')

axis([i-1000 i s(i-100)-m s(i-5)+m])

s(i-300)

s(i-2)

s(i-1)

s(i)

По графику функция сходиться ans =

0.4286

2) ;

clear

i=100000;

n=1:1:i;

f= (15/10).^n;

s(1)=f(1);

m=0.01;

for k=2:i;

s(k)=s(k-1)+f(k);

end

subplot(1,2,1);

plot (n,f,'m')

subplot(1,2,2);

plot (n,s,'g')

s(i-300)

s(i-2)

s(i-1)

s(i)

По графику видно что расходиться

ans =

0.7500

По графику видно то что сходиться

выполнить следующие задания:

а) используя M-функцию, созданную в процессе выполнения упр. 1, построить в одной системе координат график последовательности членов ряда и график последовательности частичных сумм ряда. Опираясь на построенные графики, для каждого ряда выдвинуть гипотезу о сходимости или расходимости ряда. В случае предположения о сходимости ряда указать приблизительное значение суммы ряда.

б) Доказать, опираясь на определение, выдвинутую гипотезу о сходимости (расходимости) ряда, и в случае сходимости ряда, найти точное значение суммы.

Указание к пункту б) (ряд ): чтобы получить выражение для разложить общий член ряда на сумму элементарных дробей.