Графическое решение уравнений

Графическое решение уравнений с одной переменной заключается в определении одной координаты точки (или точек) пересечения графиков двух функций, соответствующих левой и правой частям уравнения.

Этот метод решения применяется в тех случаях, когда:

-решение нужно визуализировать;

-аналитическое решение невозможно из-за сложности уравнения;

-численное решение невозможно из-за дискретности входящих в уравнение функций.

В MathCAD и Excel метод реализуется имеющимися графическими средствами и операцией трассировки.

Аналитическое решение систем уравнений.

Традиционно системы уравнений делят на две группы: системы линейных уравнений (СЛУ) и системы нелинейных уравнений (СНУ), отличающиеся видом входящих в уравнение функций. В принципе линейные уравнения – не более чем подмножество нелинейных, поэтому способы решения СНУ вполне могут быть использованы для решения СЛУ. Однако в силу того, что на практике СЛУ приходится решать значительно чаще, им и методам их решения уделяют большее внимание.

Наиболее распространенные аналитические (точные) методы решения СЛУ (их еще называют прямыми или матричными) – это методы Гаусса, Крамера (или определителей) и обратной матрицы. Все они позволяют найти точные значения неизвестных после конечного числа арифметических операций, каждая из которых выполняется точно.

Метод Гаусса сводится к двум этапам. На первом (прямой ход) осуществляется приведением исходной системы уравнений с помощью преобразований к эквивалентной системе треугольного вида (с верхней треугольной матрицей). На втором этапе (обратный ход) находятся последовательно все переменные системы.

Метод Крамера требует вычисления определителей матриц, составленных из коэффициентов системы, и дальнейшей работы с ними.

Метод обратной матрицы предполагает решение системы, записанной в матричной форме, приемами линейной алгебры, в том числе использованием транспонирования, обращения матриц, при необходимости, разложения матриц по строкам или столбцам.

В тех случаях, если коэффициенты СЛУ очень отличаются друг от друга, эти методы могут давать погрешности в расчетах. Причем методы применимы только для хорошо определенных (совместных) СЛУ, где число уравнений равно числу неизвестных.

В MathCAD перечисленные методы реализуются либо непосредственным воспроизведением алгоритма, либо с помощью встроенных функций lsolve (метод Крамера) в комбинации с оператором символьного вывода или rref (метод Гаусса).В Excel наиболее просто реализуется алгоритм метода Гаусса.

Универсальных алгоритмов для поиска аналитических решений СНУ не существует. Поэтому при проведении ручного счета в этом случае используют математические преобразования, которые не всегда позволяют найти точные корни. В MathCAD аналитические решения СНУ можно искать с помощью оператора solve вычислительного блока Given/find в комбинации с оператором символьного вывода. В Excel аналитическое решение СНУ, как правило, не проводят.