Моделирование процесса функционирования системы заправки подвижными агрегатами обслуживания

В том случае, когда заправка осуществляется подвижными агрегатами обслуживания, работа такой системы заправки может быть смоделирована замкнутой системой массового обслуживания, в которой число источников заявок N ограничено количеством обслуживаемых ЛА, а интенсивность поступления заявок формула зависит от состояний источников, обусловленных работой самой системы. Такая задача обычно решается в следующей постановке. Имеется N одинаковых, взаимно удаленных объектов, каждый из которых может в некоторое случайные моменты времени подать заявку на обслуживание. Поток заявок каждого объекта считается Пуассоновским с интенсивностью формула. Каждый объект может обслуживаться одним (нет взаимопомощи между каналами) или формула (имеется частичная взаимопомощь) агрегатами обслуживания. Интенсивность пуассоновского потока обслуживаний каждого канала формула. Если к моменту подачи заявки объектом все каналы заняты, то этот объект становиться в очередь на обслуживание; дисциплина очереди такая: кто раньше подал заявку, тот раньше обслуживается.

Для случая отсутствия взаимопомощи между каналами обслуживания состояние замкнутой системы массового обслуживания описывается системой дифференциальных уравнений:

Решение системы дифференциальных уравнений (18) совместно с нормировочным условием

(19)

позволяет определить все вероятные состояния замкнутой системы массового обслуживания и найти все параметры, характеризующие работу этой системы в режиме постановки ЛА на работу.

Для стационарного режима работы подвижных агрегатов обслуживания система (18) превращается в систему алгебраических уравнений:

Решение этой системы уравнений совместно с нормировочным условием (19) дает следующие выражения для определения вероятностей нахождения в состояниях :

(22)

(23)

Где k=1,2,3,…,n;

– вычисляется по таблицам биноминального распределения;

Таблицы биноминального и пуассоновского распределений всех указанных выше функций приведены в ____.

Зная вероятные состояния системы массового обслуживания замкнутого типа, легко определить и другие параметры, характеризующие процесс функционирования системы и заявка объекта – обслуживание агрегатом. Так среднее число обслуживаемых объектов определяется по формуле: (24)

Среднее число ожидаемых очереди объектов формула, можно найти так:

(25)

Среднее число простаивающих объектов: (26)

Коэффициент использования (вероятность того, что определенный объект в любой момент времени будет работать и не нуждаться в обслуживании) подсчитывают по формуле:

, (27)

где = - вероятность простаивания объекта, т.е. вероятность того, что объект нуждается в обслуживании.

Среднее время готовности объекта к применению будет равно:

; (28)

Средние времена простоя объекта и пребывания его в очереди определяется выражениями:

(29)

, (30)

где – среднее время обслуживания одного объекта одним агрегатом.

Для случая работы замкнутой системы массового обслуживания с взаимопомощью между каналами обслуживания задача определения параметров функционирования формулируется следующим образом: имеется N одинаковых взаимно удаленных объектов, каждый из которых в любой случайный момент времени может подать заявку на обслуживание с интенсивностью : интенсивность обслуживания каждым агрегатом равна . Если подано заявок меньше , то каждый объект обслуживаться одновременно агрегатами, где – целая часть числа . Производительность при этом возрастает в раз и равна . Величина определяется максимальным числом агрегатов, которые могут быть использованы при обслуживании одного объекта. Если подано заявок , причем , то в обслуживании участвуют все агрегатов, при этом каждый объект обслуживается не более чем агрегатами. Если подано заявок , причем , то в обслуживании участвуют n агрегатов, которые обслуживают объектов, а объектов ожидают очереди на обслуживание.

Процесс функционирования замкнутой системы массового обслуживания с взаимопомощью между каналами обслуживания описывается системой дифференциальных уравнений:

(31)

Эта система уравнений решается совместно с нормировочным условием (19) и дает возможность определить параметры, характеризующие работу заправочной системы с помощью подвижных агрегатов обслуживания в режиме постановки ЛА на работу.

Для стационарного режима работы такой системы массового обслуживания системы дифференциальных уравнений (31) преобразуются к виду:

(32)

В результате решения системы алгебраических уравнений (32) совместно с условием (19) получаются следующие выражения для определения вероятных состояний подобной системы массового обслуживания:

(33)