Примеры нелинейных связей между переменными

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

ПАРНОЕ НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ

Цель работы: рассчитать параметры показательного уравнения регрессии с помощью MS Excel; проанализировать качество построенной модели, используя индекс детерминации и среднюю ошибку аппроксимации; оценить статистическую значимость уравнения с помощью статистики.

ТЕОРИЯ

Примеры нелинейных связей между переменными.

Связи между экономическими величинами необязательно выражаются линейными функциями – они могут быть и нелинейными. Так обратная зависимость спроса от цены может выражаться не только линейной функцией . Возможны и другие соотношения: .

В демографических расчетах и страховом деле применяется функция вида , которая называется уравнением Гомперца. Для описания развития производства новых товаров и роста численности населения используется логистическая функция (функция Ферхюльста) .

Различают два класса нелинейных регрессий:

1) регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам,

2) регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам. В свою очередь данный класс нелинейных уравнений делится на внутренне линейные и внутренне нелинейные.

Примерами нелинейной регрессии по включенным в нее объясняющим переменным являются следующие функции:

· полиномы разных степеней: , и др.

· равносторонняя гипербола:

· уравнения с квадратными корнями, например, , использовались в исследованиях урожайности, трудоемкости с/х производства

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:

· степенная применяется при моделировании кривых спроса

· показательная ;

· экспоненциальная и др.

Уравнение Гомперца является примером нелинейности, как по включенным объясняющим переменным, так и по параметрам. Нелинейная регрессия первого класса не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров, то есть для поиска коэффициентов уравнения регрессии можно использовать МНК, предварительно устранив нелинейность методом замены переменной.

Рассмотрим данный прием на конкретных примерах.

Приведем к линейному виду – уравнение . Пусть , тогда получаем линейное уравнение регрессии , параметры которого определяем из уже известной нам системы нормальных уравнений:

– аналогично приводятся к линейному виду уравнения , и др.

Если нелинейная модель внутренне линейна, то с помощью соответствующих преобразований она может быть преобразована к линейному виду. Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейному виду.

Нелинейность по параметру часто можно устранить путем предварительного логарифмирования и введения новых переменных и параметров.

Например, ищем уравнение регрессии вида . Этапы преобразования к линейному виду:

1) логарифмирование: ;

2) введение новых переменных и параметров: ;

Уравнение приведено к линейному уравнению вида . Параметры уравнения регрессии находим из системы нормальных уравнений:

После нахождения параметра уравнения регрессии необходимо сделать обратную замену, то есть найти .