Виды нелинейных регрессионных моделей, расчет их параметров

Хотя во многих практических случаях моделирование экономических зависимостей линейными уравнениями дает вполне удовлетворительный результат, однако ограничиться рассмотрением лишь линейных регрессионных моделей невозможно. Так близость линейного коэффициента корреляции к нулю еще не значит, что связь между соответствующими экономическими переменными отсутствует. При слабой линейной связи может быть очень тесной, например, не линейная связь. Поэтому необходимо рассмотреть и нелинейные регрессии, построение и анализ которых имеют свою специфику.

В случае, когда между экономическими явлениями существует нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных эконометрических моделей.

Различает две группы нелинейных регрессионных моделей:

модели, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

модели нелинейные по оцениваемым параметрам.

К первой группе относятся, например, следующие виды функций:

- полином 2-й степени;

- полином 3-й степени;

- гипербола.

Ко второй группе относятся:

- степенная;

- показательная;

- экспоненциальная и др. виды функций.

Классическим примером функций, относящихся к первой группе, являются кривые Филипса и Энгеля:

и , соответственно.

Первая функция характеризует нелинейные соотношения между нормой безработицы x и процентом прироста заработной платы у. Из данной зависимости следует, что с ростом уровня безработицы темпы роста заработной платы в пределе стремится к нулю.

Вторая функция устанавливает закономерность – с ростом дохода доля расходов на продовольствие - уменьшается. Здесь у, обозначает - долю расходов на непродовольственные товары; х – доходы.

Первая группа нелинейных функций легко может быть линеаризована (приведены к линейному виду). Например, для полинома к -го порядка

производя замену:

, , ,…,

получим линейную модель вида

Аналогично могут быть линеаризованы и другие виды нелинейных функций 1-й группы, производя соответствующие замены.

Для оценки параметров нелинейных функций первой группы можно использовать, обычный МНК, аналогично, как и в случае линейных функций.

Иначе обстоит дело с группой регрессионных, нелинейных функций по оцениваемым параметрам. Данную группу функций можно разбить на две подгруппы:

нелинейные модели внутренне линейные;

нелинейные модели внутренне нелинейные.

Рассмотрим степенную функцию . Она нелинейна относительно параметров и b. Однако ее можно считать внутренне линейной, так как, прологарифмировав ее можно привести к линейному виду:

Следовательно, ее параметры могут быть найдены обычным МНК.

Если модель представить в виде:

, то модель становится внутренне нелинейной, т.к. ее невозможно преобразовать в линейный вид.

Внутренне нелинейной будет и модель вида

В эконометрических исследованиях, часто к нелинейным относят модели, только внутренне нелинейные по оцениваемым параметрам, а все другие модели, которые легко преобразуются в линейный вид, относятся к группе линейных моделей. Например, к линейным относят модель:

, так как

Если, модель внутренне нелинейна по параметрам, то для оценки параметров используются итеративные методы, успешность которых зависит от вида функции и особенностей применяемого итеративного подхода.

МНК в случае нелинейных функций, рассмотрим на примере оценки параметров степенной функции .

Прологарифмировав данную функцию, получим:

или, производя обозначения: