Теоретическая часть. Согласно структурной схемы данной математической модели соответствует система дифференциальных уравнений третьего порядка

Согласно структурной схемы данной математической модели соответствует система дифференциальных уравнений третьего порядка:

(1)

и уравнение в матричной форме:

(2)

Характеристическая матрица этого уравнения имеет вид:

(3)

Соответствующий характеристический полином третьего порядка:

D(р) = р³ + с₁ р² + с₂ р + с₃, (4)

где коэффициенты с_i (i = 1,3) определяются выражениями:

с₁ = k₂ + k₅,

c₂ = k₂ k₅ + k₄ (k₃ + k₆), (5)

c₃ = (k₂ (k₃ + k₆) + k₁) k₄.

Согласно критерию устойчивости Гурвица исследуемая система будет устойчивой при положительности коэффициентов с₁, с₂, с₃ и при выполнении неравенства

с₁ с₂ > с₃ (6)

Полагаем, что коэффициенты k₂, k₃, k₆ задаются разработчиком системы управления по своему усмотрению с учетом предъявляемых требований к виду переходных процессов и установившимся значениям ошибок стабилизации. Выбор значений коэффициентов k₁, k₄, k₅ подчиняется условию обеспечения динамических характеристик переходных процессов, соответствующих корням эталонного полинома

D₃(p) = (p² + 2zwp + w²) (p + d) = p³ + d₁ p² + d₂ p + d₃. (7)

С помощью коэффициентов z, w, d задаются желаемая продолжительность, колебательность и перерегулирование переходных процессов и вычисляются коэффициенты d_i эталонного полинома. При этом значения коэффициентов k₁, k₄, k₅, входящих в модель объекта, определяются из условия равенства коэффициентов (7) и (4):

k₅ = d + 2zw - k₂,

k₄ = ((2zwp + w²) - k₂ k₅) / (k₃ +k₆), (8)

k₁= w² d / k₄ - k₂ k₆ - k₂ k₃.

При заданных величинах коэффициентов полинома (7), соответствующих приемлемому виду переходных процессов эталонной модели, исследуемая система управления с вычисляемыми по формулам (8) коэффициентами также будет иметь приемлемый вид переходных процессов. Использование правил эквивалентного преобразования структурных схем позволяет получить следующие переходные функции от входного воздействия х к изменению выходного сигнала:

(9)

где D (p) определяется выражением (4). По коэффициентам этого полинома с помощью критерия Гурвица проверяется устойчивость замкнутой системы управления. Для проверки устойчивости с помощью критерия Найквиста необходимо использовать передаточную функцию разомкнутой системы:

(10)