Мерой общего качества уравнения множественной регрессии является коэффициент (индекс) детерминации:
, (7)
Коэффициент детерминации определяет долю разброса зависимой переменной, объясняемую полученным (эмпирическим) уравнением регрессии. Или формулу (8) можно записать в следующем виде:
, (8)
где – общая дисперсия результативного признака, – остаточная дисперсия для уравнения множественной регрессии.
Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден как индекс множественной корреляции, представляющий собой корень квадратный от коэффициента детерминации:
, (9)
Индекс множественной корреляции изменяется от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1, тем сильнее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов. Величина индекса множественной корреляции больше или равна максимального парного индекса корреляции. При правильном включении факторов в регрессионный анализ величина индекса множественной корреляции будет существенно отличаться от индекса корреляции парной зависимости. Если же дополнительно включенные в уравнение множественной регрессии факторы третьестепенны, то индекс множественной корреляции может практически совпадать с индексом парной корреляции (различия в третьем, четвертом знаке). Отсюда ясно, что, сравнивая индексы множественной и парной корреляции, можно сделать вывод о целесообразности включения в уравнение регрессии того или иного фактора.
|
|
Формулу индекса множественной корреляции для линейной регрессии называют также линейным коэффициентом множественной корреляции или совокупный коэффициент корреляции. При линейной зависимости индекс множественной корреляции можно определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:
, (10)
где – определитель матрицы парных коэффициентов корреляции, – определитель матрицы межфакторной корреляции. Для уравнения определитель матрицы коэффициентов парной корреляции примет вид:
(11)
Определитель более низкого порядка остается, когда вычеркиваются из матрицы коэффициентов первый столбец и первая строка, что и соответствует матрице коэффициентов парной корреляции между факторами:
(12)
Видно, что величина множественного коэффициента корреляции зависит не только от корреляции результата с каждым из факторов, но и от межфакторной корреляции. При трех переменных для двухфакторного уравнения регрессии данная формула совокупного коэффициента корреляции приводится к следующему виду:
, (13)
Индекс множественной корреляции равен совокупному коэффициенту корреляции не только при линейной зависимости рассматриваемых признаков. Тождественность этих показателей, как и в парной регрессии, имеет место и для криволинейной зависимости, нелинейной по переменным. Если уравнение регрессии нелинейно по оцениваемым параметрам, то эти показатели между собой не тождественны.
|
|