Множественная корреляция

Мерой общего качества уравнения множественной регрессии является коэффициент (индекс) детерминации:

, (7)

Коэффициент детерминации определяет долю разброса зависимой переменной, объясняемую полученным (эмпирическим) уравнением регрессии. Или формулу (8) можно записать в следующем виде:

, (8)

где – общая дисперсия результативного признака, – остаточная дисперсия для уравнения множественной регрессии.

Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден как индекс множественной корреляции, представляющий собой корень квадратный от коэффициента детерминации:

, (9)

Индекс множественной корреляции изменяется от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1, тем сильнее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов. Величина индекса множественной корреляции больше или равна максимального парного индекса корреляции. При правильном включении факторов в регрессионный анализ величина индекса множественной корреляции будет существенно отличаться от индекса корреляции парной зависимости. Если же дополнительно включенные в уравнение множественной регрессии факторы третьестепенны, то индекс множественной корреляции может практически совпадать с индексом парной корреляции (различия в третьем, четвертом знаке). Отсюда ясно, что, сравнивая индексы множественной и парной корреляции, можно сделать вывод о целесообразности включения в уравнение регрессии того или иного фактора.

Формулу индекса множественной корреляции для линейной регрессии называют также линейным коэффициентом множественной корреляции или совокупный коэффициент корреляции. При линейной зависимости индекс множественной корреляции можно определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

, (10)

где – определитель матрицы парных коэффициентов корреляции, – определитель матрицы межфакторной корреляции. Для уравнения определитель матрицы коэффициентов парной корреляции примет вид:

(11)

Определитель более низкого порядка остается, когда вычеркиваются из матрицы коэффициентов первый столбец и первая строка, что и соответствует матрице коэффициентов парной корреляции между факторами:

(12)

Видно, что величина множественного коэффициента корреляции зависит не только от корреляции результата с каждым из факторов, но и от межфакторной корреляции. При трех переменных для двухфакторного уравнения регрессии данная формула совокупного коэффициента корреляции приводится к следующему виду:

, (13)

Индекс множественной корреляции равен совокупному коэффициенту корреляции не только при линейной зависимости рассматриваемых признаков. Тождественность этих показателей, как и в парной регрессии, имеет место и для криволинейной зависимости, нелинейной по переменным. Если уравнение регрессии нелинейно по оцениваемым параметрам, то эти показатели между собой не тождественны.