Деформация изгиба

Под деформацией изгиба понимается такое воздействие внешних сил на тело, которое приводит к изменению кривизны этого тела.

На рис. 1 изображен частный случай изгиба – поперечный изгиб бруска, опирающегося на опоры. Расстояние между опорами АВ = l. Изгибающая сила F приложена к бруску в точке О (АO = OB). OO₁ = Dh – стрела прогиба в точке O. Закон Гука в применении к деформации поперечного изгиба можно записать

Dh = bF, (2)

где b – коэффициент изгиба, зависящий от других свойств материала, размеров и формы бруска.

Рис. 1

При деформации поперечного изгиба прямого бруска первоначально прямая ось бруска ZZ (рис. 2) под действием силы F искривляется, а поперечные сечения S, до изгиба параллельные между собой, S // S, поворачиваются друг относительно друга. Верхние волокна бруска А₁В₁ укорачиваются, а нижние А₂В₂ – удлиняются. Наибольшее сжатие возникнет в самых верхних волокнах, а наибольшее растяжение – в самых нижних. Волокна, расположенные по оси Z₁Z_1, искривляются, но своей длины не изменяют. Этот слой называется нейтральным слоем. Таким образом, при поперечном изгибе в волокнах происходит по одну сторону от оси Z растяжение, по другую – сжатие, в продольном же направлении (вдоль оси Z) между волокнами проходит сдвиг. (Электромагнитное взаимодействие атомов приводит к появлению сил упругости).

В любом сечении бруска действует изгибающий момент М и поперечная (перерезывающая) сила F_S. Как видно из рис. 2, изгибающий момент для сечения, отстоящего от опоры А на расстоянии Z, равен: M = F_A Z (эта формула справедлива при 0 £ Z £ l/2), нo F_A = F_B = F/2, так как по условию АO = OB, поэтому окончательно изгибающий момент будет:

(3)

Из формулы 3 видно, что изгибающий момент меняется от одного сечения к другому и достигает наибольшего значения в точке O:

(4)

Поперечная сила F_S по всей длине бруска будет постоянной и равной:

(5)

Стрела прогиба бруска достигает своего наибольшего значения Dh в сечении O, где действует максимальный изгибающий момент М_mах.

Рис. 2

Расчеты показывают, что величина наибольшего прогиба определяется соотношением:

, (6)

где E – модуль упругости, модуль Юнга; J – момент инерции поперечного сечения бруска относительно центральной оси.

В случае прямоугольного сечения бруска со сторонами a и b, причем a>b, момент инерции поперечного сечения будет равен:

. (7)

Подставляя формулу (4) и (7) в (6), получим:

, (8)

откуда модуль упругости на растяжение Е, определяемый из деформации поперечного изгиба, будет:

(9)