Общие положения. По дисциплине «Математические основы теории систем»

Лабораторная работа № 4

По дисциплине «Математические основы теории систем»

Случайные величины и случайные функции

Цель работы: моделирование случайных величин и случайных процессов на основе метода статистических испытаний.

Задание. Смоделировать случайные величины и случайные процессы в соответствии с заданным вариантом.

Общие положения

Сущность метода статистических испытаний (МСИ) заключается в многократной имитации изучае­мых процессов и явлений с последующей статистической обработ­кой полученных данных. Узловым моментом в методе выступает мо­делирование различного рода воздействий, которое носит харак­тер имитации случайных событий, величин и процессов.

Можно выделить основные этапы применения (составляющие) МСИ для исследования сложных систем:

1. Определение случайных параметров и процессов функциони­рования системы, исходя из целей исследования. На основании опыта или имеющейся априорной информации оценка характеристик случайности (определение вероятности событий, выбор законов распределения и оценка их параметров, определение и оценка корреляционных функций и т.д.).

2. Разработка алгоритмов моделирования случайных событий, величин и процессов и оценка их качества (проведение тестовых проверок).

3. Разработка моделирующего алгоритма, имитирующего пове­дение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды, и реализация этого алгоритма с использованием программно-технических средс­тв ЭВМ.

4. Определение необходимого числа статистических испытаний (прогонов, реализаций), исходя из требуемых характеристик точ­ности и надежности выходных параметров системы в статистическом смысле.

5. Проведение вычислительного эксперимента и статистичес­кая обработка полученных данных.

Теоретической основой МСИ являются предельные теоремы те­ории вероятностей. Множества случайных явлений (событий, вели­чин) подчиняются определенным закономерностям, позволяющим не только прогнозировать их поведение, но и количественно оцени­вать некоторые средние их характеристики, проявляющие опреде­ленную устойчивость. Характерные закономерности наблюдаются также в распределениях случайных величин, которые образуются при сложении множества воздействий. Выражением этих закономер­ностей и устойчивости средних показателей являются так называ­емые предельные теоремы теории вероятностей. Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом чис­ле испытаний (реализаций). При практическом использовании МСИ, как правило, достаточным бывает использование закона больших чисел в виде теорем Бернулли и Чебышева, а также центральной предельной теоремы:

Теорема Бернулли. Если проводится N независимых испыта­ний, в каждом из которых некоторое событие А осуществляется с вероятностью р, то относительная частота (частость) появления события m/N при N сходится по вероятности к р, т.е. при любом > 0

lim P{|m/N-p| } =0, (1.1)

N

где m- число положительных исходов испытания.

Теорема Чебышева. Если в N независимых испытаниях наблю­даются значения x_1,…,x_n случайной величины Х, то при N среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к P ее математическому ожиданию а, т.е. при любом e>0

lim Р{|(1/N) -a| }=0. (1.2)

N

Центральная предельная теорема (в одной из формулировок Ляпунова). Если случайная величина Х имеет конечные математи­ческое ожидание М[Х] и дисперсию D[X], то распределение сред­него арифметического , вычисленного по наблюдавшимся значениям случайной величины в N независимых испытаниях, про­веденных в одинаковых условиях, при N приближается к нор­мальному с МОЖ М[Х] и дисперсией D[X]/N.

Таким образом, метод статистических испытаний основан на самых общих теоремах теории вероятностей и не содержит в своей принципиальной сущности никаких ограничений. Применяется он как для исследования стохастических систем, так и для решения детерминированных задач.