Дискретные случайные величины

Дискретная случайная величина, характеризуемая законом распределения , может трактоваться как полная груп­па событий, если каждому из этих событий поставить в соответс­твие одно из возможных значений случайной величины. Поэтому моделирование дискретной случайной величины, заданной рядом распределения, не отличается от моделирования полной группы событий. Такой способ моделирования дискретной случайной вели­чины называется стандартным. Кроме него для многих законов распределения существуют специальные алгоритмы, позволяющие более просто и «изящно» смоделировать случайную величину.

Наиболее важными дискретными случайными величинами явля­ются целочисленные с законом распределения , k=0,1,2,... Среди них наибольшее применение при исследовании сложных технических систем находят распределения, свя­занные со схемой Бернулли (биномиальное, геометрическое, Пас­калево, отрицательное биномиальное), а также распределение Пу­ассона.

Биномиальная, геометрическая, Паскалева и отрицательная биномиальная случайные величины получаются из последователь­ности независимых испытаний Бернулли, если эту последователь­ность оборвать тем или иным способом, например, после n испы­таний, или после k успехов. Примем следующую терминологию:

р - параметр испытания Бернулли (вероятность успеха в од­ном испытании);

n - число испытаний;

k - число успехов;

y - число неудач.

В соответствии с этим будем обозначать:

1. Биномиальную случайную величину - число успехов в n испытаниях - B(n,p), при этом

Р{В(n,p)=k}= p_k= Cn^k p^k q^n-k. (2.8)

2. Геометрическую случайную величину - число испытаний до первого успеха (включая первый успех) - G(p), при этом

Р{G(p)=n}= p_n= p q^n-1. (2.9)

3. Паскалеву случайную величину - число испытаний до k-го успеха (включая k-ый успех) - С(k,p), при этом

Р{С(k,p)=n}= p_n= Cn-1^n-k p^k q^n-k. (2.10)

4. Отрицательную биномиальную случайную величину - число неудач до k-го успеха - Y(k,p), при этом

Р{Y(k,p)=y}= p_y= C_k+y-1^y p^k q^y. (2.11)

В зависимостях (2.8-2.11) q=1-p, - число сочетаний из n по k.

Распределение Пуассона (будем обозначать PS() используют в том случае, когда число n независимых испытаний велико, а вероятность р успеха в каждом отдельном испытании мала. По су­ти распределение Пуассона является предельной формой биноми­ального распределения при n и р 0. При этом

Р{PS()=k}= p_k= exp(- ), (2.12)

где =np - параметр распределения Пуассона (математичес­кое ожидание или, иначе говоря, среднее число успехов в n испытаниях).

При выборе между биномиальной, отрицательной биномиальной или пуассоновской моделями можно руководствоваться следующими свойствами:

биномиальная: дисперсия < среднее;

отрицательная биномиальная: дисперсия > среднее;

Пуассона: дисперсия = среднее.

На практике широкое применение для моделирования СВ с биномиальным распределением получил метод браковки.

Введем случайную величину Х_i - число успехов в i-ом испы­тании. Очевидно, что эта величина может принимать только два значения: либо 1 с вероятностью р, либо 0 с вероятностью 1-p, т.е. ряд распределения величины Х_i такой:

Xi	1 0
P	p 1-p

Тогда случайное число успехов в n испытаниях можно предс­тавить в виде: k= X₁+X₂+...+X_n.

На основе этого можно построить следующий алгоритм моде­лирования B(n,p):

1. Получить последовательность чисел r₁,r₂,...,r_n случай­ной величины R[0,1].

2. Для каждого числа проверить выполнение условия r_i < p. При его выполнении Х_i=1, в противном случае Х_i=0.

3. Найти сумму n значений СВ Х_i, которая и будет значением случайной величины B(n,p).

Математически данный алгоритм можно записать в виде:

(2.13)

Наиболее применяемые алгоритмы моделирования указанных выше распределений приведены в таблице 2.1.

При реше­нии практических задач, связанных с законом Пуассона, обычно задается параметр , а ни n, ни p неизвестны. В связи с этим алгоритм моделирования пуассоновской СВ, представленный в табл.2.1., учитывает данное обстоятельство и реализован мето­дом браковки. При этом перед его применением необходимо выб­рать n такое, чтобы р= /n была достаточно малой (p < 0.01).

Таблица 2.1.

Моделирование дискретных случайных величин

Распределение	Процедура моделирования
Биномиальное B(n,p)
Геометрическое G(p)	округление до целого в большую сторону
Паскаля C(k,p)
Отрицательное Биномиальное Y(k,p)
Пуассона PS()	PS()=