Уравнение волны. Энергия волн

Волновой поверхностью называют геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. В простейших случаях они имеет форму плоскости или сферы, а соответствующая волна называется плоской или сферической. Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х. Пусть частицы среды, лежащие в плоскости x = 0, начинают в момент t = 0 совершать колебания по гармоническому закону. Это значит, что смещение частиц изменяется во времени по закону синуса или косинуса, например:

y = A sin ωt (12)

где у - смещение данных частиц от положения равновесия в момент времени t, А -максимальное значение смещения (амплитуда); ω - циклическая частота.

Пренебрегая затуханием в среде, получим уравнение колебания частиц, расположенных в плоскости, соответствующей произвольному значению x>0 (рисунок 1). Пусть волна распространяется в направлении возрастания х. Чтобы пройти путь от плоскости x=0 до указанной плоскости, волне требуется время

(13)

где v -скорость перемещения поверхности постоянной фазы (фазовая скорость).

Поэтому колебания частиц, лежащих в плоскости х, начнутся в момент t = τ будут происходить по такому же закону, что и в плоскости х=0, но с

Рисунок- 1

отставанием по времени на величину τ, а именно:

(14)

Иначе говоря, смещение частиц, находившихся в момент t=0 в плоскости х, в момент t будут такими же, как в плоскости х=0, но в более ранний момент времени

t₁= (15)

Учитывая (13), получаем:

y = A sinω (16)

Уравнение (16) представляет собой уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х. Из него можно определить отклонение частиц среды от равновесия в любой точке пространства с координатой х и в любой момент времени t при распространении указанной волны. Вместо синуса в (16) можно поставить косинус. Аргумент косинуса или синуса называют фазой колебания. Фаза определяет состояние колебательного процесса в данный момент времени (знак и абсолютную величину относительного отклонения частиц от их положения равновесия). Из (15) видно, что фаза колебаний частиц, расположенных в плоскости х, меньше соответствующей величины для частиц, расположенных в плоскости х = 0, на величину, равную .