Решение с помощью преобразования уравнений

Решение задачи об использовании ресурсов симплексным методом.

Вариант №10.

Условие задачи:

На предприятии имеется сырье видов I, II и III. Из него можно изготовить изделия типов A и B. Запасы сырья на предприятии составляют S₁, S₂ и S₃ единиц соответственно. Изделие типа A дает прибыль c₁ у.е., изделие типа B - c₂ у.е. Расход сырья на изготовление одного изделия задан в условных единицах таблицей.

Составить план выпуска изделий, при котором предприятие имеет наибольшую прибыль. Решить задачу симплексным методом:

1. С помощью преобразования уравнений.

2. С помощью симплексных таблиц.

Решение задачи:

Решение с помощью преобразования уравнений.

Целевая функция:

.

Ограничения:

, , .

С помощью дополнительных неотрицательных переменных перейдем от системы неравенств к системе уравнений:

1. Найдем первое базисное решение:

Пусть , , - базисные переменные, тогда , - свободные. Выразим базисные переменные через свободные:

Таким образом, первым базисным решением станет при , .

Найдем значение целевой функции, выраженной через свободные переменные:

.

.

Значение функции () может возрасти за счет увеличения любой из свободных переменных, входящих в формулу с положительными коэффициентами, следовательно, полученное значение целевой функции не является максимальным, а базисное решение - оптимальным.

2. Перейдем ко второму базисному решению:

Пусть переменная станет новой базисной, в связи с тем, что она имеет наибольший положительный коэффициент в целевой функции . Так как все переменные должны быть неотрицательными, то решим систему неравенств и определим новую свободную переменную:

Таким образом, наибольшее возможное значение переменной , которая станет новой базисной, равно и достигается во втором уравнении системы, следовательно, переменная станет новой свободной. Уравнение, в котором достигается наибольшее возможное значение переменной, переводимой в базисные, называется разрешающим.

3. Найдем второе базисное решение:

Пусть , , - базисные переменные, тогда , - свободные. Выразим новые базисные переменные через новые свободные, начиная с разрешающего уравнения:

Таким образом, вторым базисным решением станет при , .

Выразим целевую функцию через свободные переменные и найдем ее значение:

.

.

Значение функции () не может возрасти за счет увеличения свободных переменных, входящих в формулу с отрицательными коэффициентами, следовательно, полученное значение целевой функции является максимальным, а базисное решение - оптимальным.