Экстремум функции двух переменных

Функция имеет максимум (минимум) в точке , если существует такая окрестность точки Р₀ , для всех точек Р(х, у) которой, отличных от точки Р₀, выполняется неравенство (соответственно ). Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума этой функции.

Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то в этой точке

Т.е. если - точка экстремума функции , то либо частные производные в этой точке равны нулю (в этом случае точку называют стационарной точкой), либо функция в этой точке не является дифференцируемой.

Достаточное условие экстремума. Пусть - стационарная точка функции , причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки Р₀ и все ее вторые производные непрерывны в точке Р₀. Вычислим

.

Тогда:

- если , то функция имеет в точке экстремум: максимум при (или при ), минимум при (или при );

- если , то в точке экстремума нет;

- если , то требуется дополнительное исследование.

Пример 7. Исследуем на экстремум функцию .

Решение. Найдем частные производные первого порядка:

Решив систему уравнений

найдем две стационарные точки .

Найдем значения частных производных второго порядка и вычислим в точке :

Т.к. в точке , то экстремума в этой точке нет.

Найдем значения частных производных второго порядка и вычислим в точке :

Т.к. в точке и , то в точке функция имеет минимум, равный