2015-05-10
306
Функция 
имеет максимум (минимум) в точке 
, если существует такая окрестность точки Р0 , для всех точек Р(х, у) которой, отличных от точки Р0, выполняется неравенство 
(соответственно 
). Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума этой функции.
Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то в этой точке 
Т.е. если - точка экстремума функции , то либо частные производные в этой точке равны нулю (в этом случае точку называют стационарной точкой), либо функция в этой точке не является дифференцируемой.
Достаточное условие экстремума. Пусть - стационарная точка функции , причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки Р0 и все ее вторые производные непрерывны в точке Р0. Вычислим
.
Тогда:
- если 
, то функция имеет в точке экстремум: максимум при 
(или при 
), минимум при 
(или при 
);
- если 
, то в точке экстремума нет;
- если 
, то требуется дополнительное исследование.
Пример 7. Исследуем на экстремум функцию 
.
Решение. Найдем частные производные первого порядка:
Решив систему уравнений
найдем две стационарные точки 
.
Найдем значения частных производных второго порядка и вычислим 
в точке 
:
Т.к. в точке , то экстремума в этой точке нет.
Найдем значения частных производных второго порядка и вычислим в точке 
:
Т.к. в точке и 
, то в точке функция имеет минимум, равный
