Условный экстремум функции двух переменных

Кроме экстремума в точке, для функции двух переменных рассматривается условный экстремум, т. е. экстремум функции , найденный в предположении, что переменные х и у связаны соотношением , которое называется уравнением связи.

Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции Лагранжа .

Необходимое условие условного экстремума выражается системой:

Пусть , - некоторое решение этой системы.

Достаточное условие условного экстремума. Вычислим определитель

.

Если , то функция имеет в точке условный минимум; если , то функция имеет в точке условный максимум.

Пример 8. Найдем условный экстремум функции при условии .

Решение. Составим функцию Лагранжа и найдем частные производные первого порядка:

Система уравнений

имеет два решения: и .

Вычислим для каждого решения.

.

Т.к. , то в точке функция имеет условный минимум, равный .

.

Т.к. , то в точке функция имеет условный минимум, равный .