Биномиальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность непоявления q=1–p). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины X. Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза,..., либо n раз.

Таким образом, возможные значения X таковы: x₁=0, x₂=l, x₃ = 2,..., х_n+1 = n. Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть равенства (*) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

Таким образом, первый член разложения рⁿ определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях;…; последний член qⁿ определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Напишем биномиальный закон в виде таблицы:

X n n–1... k... 0

Р рⁿ np^n–1q … C_n^kp^kq^n–k... qⁿ

Пример. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X – числа выпадений «герба».

Решение. Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты р=1/2, следовательно, вероятность непоявления «герба» q=1–1/2=1/2.

При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X таковы: x₁ =2, х₂ =1, х₃=0. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

Р₂(2) = С₂²р²= (1/2)² = 0,25;

P₂(1)= С₂¹р²q= 2*(1/2)*(1/2)=0,5;

P₂(0)= С₂⁰q²= (1/2)²=0,25;

Напишем искомый закон распределения:

X 2 1 0

р 0,25 0,5 0,25

Контроль: 0,25 + 0,5+0,25=1.