Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности k появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же n велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (p≤0,l). В этих случаях (n велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.
Пусть есть задача: найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз. Сделаем важное допущение: произведение nр сохраняет постоянное значение, а именно nр = 𝞴. Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т. е. при различных значениях n, остается неизменным.
Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности:
После преобразования и упрощения формулы получим закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких (р мало) событий:
|
|
Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.
Решение. По условию, n = 5000, р = 0,0002, k = 3. Найдем 𝞴:
𝞴 = nр = 5000 0,0002=1.
По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна
P5000(3) = 𝞴ke–𝞴/k! =e–1/3! = l/6e ~ 0,06.