Геометрическое распределение. Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (0< р < 1) и

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (0< р < 1) и, следовательно, вероятность его непоявления q=1–р. Испытания заканчиваются, как только появится событие А. Таким образом, если событие А появилось в k-м испытании, то в предшествующих k–1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через X дискретную случайную величину – число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями X являются натуральные числа: x1= 1, x2=2,...

Пусть в первых k–1 испытаниях событие А не наступило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей независимых событий, P(X=k)=q^k-1p (*).

Полагая k=1, 2,... в этой формуле, получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q (0<q<1):

р, qp, q²p,..., ^qk-1p, … (**)

По этой причине распределение (*) называют геометрическим. Полученный ряд сходится и сумма его равна единице: p/(1–q)=p/p=1.

Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. По условию, р = 0,6, q = 0,4, k = 3. Искомая вероятность по формуле (*):

q^k-1p=0,4²*0,6=0,096.

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Как уже известно, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины. Для решения многих задач достаточно знать математическое ожидание. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и, следовательно, стреляет лучше второго. Хотя математическое ожидание дает о случайной величине значительно меньше сведений, чем закон ее распределения, но для решения задач, подобных приведенной и многих других, знание математического ожидания оказывается достаточным.