Гипотеза консольной балки

По этой гипотезе породные слои над призабойным и вырабо- танным пространствами рассматриваются как балки, которые одним концом заделаны в массиве, а другим могут свободно свисать или опи- раться на обрушенные породы (см. рис. 14.1). Впервые в 1867 году была опубликована Шульцем. Позднее развивалась иностранными и русскими (Слесарев В.Д., Белаенко Ф.А.) учеными.

а

q

R'

b lоб

б Т

b lоб

Рисунок 14.1 – Расчётная схема гипотезы консольной балки: а – от действия непосредственной кровли;

б – с учётом влияния основной кровли

Реакция призабойной крепи определяется, исходя из веса пород непосредственной кровли.

Реакция специальной крепи зависит от того, оказывает ли ос- новная кровля влияние на непосредственную или нет:

при f 2 >f 1– оказывает; при f 2 <f 1– не оказывает;

f 2 и f 1 – прогибы кровли основной и непосредственной кровли над специальной крепью. Используется метод теории упругости о из- гибе балки.

1 1

m h l 4

f =

, (14.1)

' '

1

8 E 1 I 1

где E ', I ' – соответственно приведенные модуль упругости и момент

1 1

инерции сечения всей непосредственной кровли, а не нижнего слоя, как в предыдущей гипотезе и относительно нейтральной оси, а не средины балки.

m h l 2 l 2 æ

l l 2ö

= 2 2 2 1 ç -

1 + 1 ÷

2 2 è

l

f 2 24 E ' I ' ç 6 4 l

2 ÷, (14.2)

2 ø

где

h 2 Rизг 2

l =

. (14.3)

2 3 m

При f 2< f 1уравнение совместности деформаций Тогда

f R - fq 1= 0.

R ' в 3

q (l

+ в)2 в 2é в

в 2 ù

1 об. (14.4)

=

3 E ' I '

24 E ' I '

ê6 - 4 +

l в l

в 2 ú

1 1 1 1 êë

(об +

) (об +

) úû

Откуда

R ' =

q 1(3 в 2 + 8 вlоб

8 в

об

+ 6 l 2)

. (14.5)

При f2>f1 R=R'+R",

где R" – реакция крепи от действия основной кровли

æ 3 l ö

R " = T ç1+

è

× об ÷, (14.6)

2 в ø

Т – давление, возникающее от прогиба основной кровли на непосредственную кровлю, а затем на крепь.

Из уравнения совместности деформаций определим Т. При этом f2-f1=fТ;

fТ =

Т l 3

+

' '

Т l 3

' '

; (14.7)

3 E 1 I 1

4 E '

3 E 2 I 2

× E '

E ' = сж

æ E +

p

2

Ep ö

; (14.8)

ç

' ' ÷

è сж ø

' 1 '

I 1= I 0+ F 0 V 0; (14.9)

F

' 0

кровли

– площадь поперечного сечения балки непосредственной

0 1 1

F ' = в h;

æ

'

V ' ç

h 1 сж

ö

h

1 ÷; (14.10)

0 = ç

E

ç E '

- ÷

+ E ' 2 ÷

è сж p ø

V ' – расстояние от нейтральной оси до середины балки. Гипотеза балки имеет существенные недостатки; в ней не учте-

но, что:

кровля состоит не из одного, а из многих слоев различной кре- пости, слои имеют связи по плоскостям напластований;

горные породы анизотропны, неоднородны и не следуют закону

Гука;

не учтена трещиноватость, блочность и т.д.

14.2 Гипотеза свода

В основу рассматриваемой гипотезы положен тот факт, что об- рушение горных пород в кровле выработок напоминает по форме свод. Вначале гипотеза распространялась на выработки типа штолен, штре- ков (Риттер 1879г., Файоль 1886г.), а затем на очистные выработки (1912г., проф. М.М. Протодьяконов).

Сущность. Над выработанным пространством образуется свод (купол) нарушенных пород. Породы внутри свода передают свой вес на почву и крепь, а расположенные выше – на целик и обрушенные породы (пяты свода). Расчетная схема приведена на рисунке 14.2.

Реакция крепи

r = mYx, Н/стойку; (14.11)

n

Yx =

a 1- x

= a 1-

(a 1

- в)2

, (14.12)

f a 1 f f

a 1 f

где а1 – полупролет свода, м;

f – коэффициент крепости пород;

n – количество стоек на 1 м2.

y

yx

0 в s

2a1

Рисунок 14.2 – Расчётная схема гипотезы свода

Предполагается, что вес пород над полусводом передается на площадку S и давление на ней распределяется по треугольнику

S = mH f

. (14.13)

Область применения гипотезы: слабые породы (f < 3), мощно-

ai

стью Σhi больше высоты свода

; Н до 400 м.

f

Недостатки гипотезы: нельзя точно определить величину про- лета свода; крепь работает в режиме заданной нагрузки.

14.3 Гипотеза Руппенейта

Предложена в 1957 г. Расчетная схема на рисунке 14.3. Решена плоская упруго-пластическая задача теории предельного равновесия

для клина АВFД, выделенного над призабойным пространством.

К.В. Руппенейт считает,что частично разрушенные над приза- бойным пространством породы можно рассматривать как сплошную среду, при этом σр=0 и поэтому трещиноватость не является препятст- вием; крепь предотвращает расслоение – принято априори.

D F

II

I

A B

Uo ¢

S

0

Рисунок 14.3 – Расчетная схема К.В. Руппенейта

К.В. Руппенейт считает,что частично разрушенные над приза- бойным пространством породы можно рассматривать как сплошную среду, при этом σр=0 и поэтому трещиноватость не является препятст- вием; крепь предотвращает расслоение – принято априори.

Для определения опускания кровли необходимо совместно ре- шить методом последовательных приближений три уравнения

3 3 (1 - v)2 S 2 m é

R 2 (1 - 2 v) R ù

U 2 +

U U * =

2 2

ê H +

KE êë

H + 2 R 0

+ o ú; (14.14)

2(2 - v) úû

0 0 0

S

Ro = ×

3 U * + U

*

; (14.15)

2 U 0

3 U 0 + 2 U 0

U * = a m H hпл

, (14.16)

Епл

где

3(1 - 2 v)

K =

2 - v

*

; (14.17)

U 0 – выведено на основания теории размерностей, а α

на основании одного шахтного эксперимента.

При этом U *

определялось далеко впереди лавы и получилось

довольно большим. При сравнении вычисленных значений с измерен- ными это не учитывалось,т. к. U * обычно измеряется только на линии

забоя.

Допущения и недостатки гипотезы К.В. Руппенейта не умаляют

ее значение для развития аналитических методов. К. В. Руппенейтом поставлена и решена определенная задача с применением методов ме- ханики сплошной среды, но не относящаяся к реальным условиям взаимодействия крепи и боковых пород в лавах пологих пластов. По- лезным здесь может быть вывод, что методы механики сплошной сре- ды, но в сочетании с общими методами механики, могут быть приме- нены при построении гипотезы горного давления. Постановка задачи и расчетная схема должны быть изменены.

14.4 Метод конечных элементов

Расчет напряжений в неоднородных массивах горных пород может быть выполнен численными методами, среди которых наиболее эффективен метод конечных элементов.

Реальная среда представляется в виде совокупности конечного числа отдельных элементов, соединенных в узловых точках. Каждому элементу независимо от остальных могут быть приписаны свои меха- нические свойства, что позволяет исследовать неоднородные среды. Наиболее часто применяют прямоугольные и треугольные элементы (рис. 14.4). Для них получают матрицу жесткости, выражающую соот- ношение между узловыми силами и узловыми смещениями элемента.

j

x j '

i'

'

V1 i

m

m

ut y

Рисунок 14.4 – Принципиальная схема разделения массива на элементы

Исходная информация для решения задачи на ЭВМ включает модуль упругости, коэффициент Пуассона, объемный вес материала элементов, граничные условия, координаты узловых точек. Кроме не- однородности, которая учитывается заданием отдельным элементам или группе элементов разных свойств, в этом методе разработаны и реализованы различные приемы учета слоистости и трещиноватости путем введения для трещин элементов специальных форм.

На печать машина выдает: горизонтальные и вертикальные пере- мещения, напряжения в точках, деформации элементов. Зная паспорта прочности и вычисленные σ и τ, можно вычислить, где произойдет раз- лом, установить зону отжима, опорного давления, шаг обрушения и др.

Лекция 15