Вероятностные модели

Модели с латентными переменными

Модели с латентными переменными являются важным классом вероятностных моделей. Они основаны на предположе­нии о том, что наблюдаемые, измеряемые тестами переменные могут быть объяснены с помощью так называемых латентных, более глубинных переменных, которые невозможно измерить непосредственно, однако можно оценить их значение кос­венно. К методам латентных переменных относятся конфирматорный и эксплора-торный факторный анализ, регрессионный анализ, однофакторный анализ, методы латентных структур. МакДоналд пред­ложил обобщенную модель латентных структур.

Цель создания моделей с латентными переменными — объяснение наблюдаемых переменных и взаимосвязей между ними с помощью латентных переменных. При заданном значении наблюдаемых перемен­ных требуется сконструировать множество латентных переменных и функцию, кото­рая достаточно хорошо аппроксимировала бы наблюдаемые переменные, а в конеч­ном счете — плотность вероятности на­блюдаемой переменной.

В факторном анализе основной акцент делается на моделировании значений на­блюдаемых переменных, их корреляциях, ковариациях, а в методах латентно-струк­турного анализа — на моделировании рас­пределения вероятности наблюдаемых переменных.

Модели факторного анализа (ФА)

Работа Пирсона (1901) — первая, ко­торая была посвящена методу главных компонент. Большой вклад при разработке теста на интеллект внесли К. Спирмен (1927, 1946), Л. Терстон (1947, 1951), а при разработке теории личности — Р. Кеттел (1947, 1951) и Г. Айзенк.

Входные данные, обрабатываемые ме­тодом ФА, — это корреляционная или ко-

7. ОСНОВНЫЕ ОТРАСЛИ ПСИХОЛОГИИ

вариационная матрицы. Основная цель методов — выявление интегральных ла­тентных факторов по наблюдаемым пере­менным, что означает построение для дан­ной корреляционной матрицы К соот­ветствующей матрицы нагрузок А. Матри­ца А определяется численными методами, при этом количество факторов не должно превышать количество наблюдаемых пе­ременных. То есть соотношения между п наблюдаемыми переменными должны объясняться возможно меньшим числом латентных факторов. Первый принцип, лежащий в основе классической модели ФА, — постулат о линейной независимости между латентными характеристиками; второй — наблюдаемые переменные могут быть представлены как линейная комби­нация некоторых латентных факторов. Ряд этих факторов является общим для не­скольких переменных, другие — специфи­ческие, связанные в основном только с одной переменной.

В 60-е гг, в связи с быстрым развитием методов ФА появилось огромное число раз­личных методов. В дальнейшем проявля­ется тенденция к обобщениям: возникает нелинейный ФА, построение обобщающей модели с латентными переменными, воз­никновение и развитие конфирматерного ФА.

Обобщенная математическая модель ФА в матричном виде — это К = AFA^T + L², где А — матрица нагрузок, К — корреля­ционная матрица, L — матрица ошибок, F — единичная матрица факторов.

Основные этапы ФА: 1) сбор эмпири­ческих данных и подготовка корреляци­онной (ковариационной) матрицы; 2) вы­деление первоначальных (ортогональных) факторов; 3) вращение факторной струк­туры и содержательная интерпретация результатов ФА,

Второй этап — это прежде всего выбор метода ФА. Назовем наиболее используе­мые из них в психологии.

Метод главных компонент. Его модель имеет вид

К - V = AA^J = VCV^:,

где V — матрица собственных векторов, С — диагональная матрица собственных значений.То есть в данном методе поиск

решения идет в направлении вычисления собственных векторов (факторов), а собст­венные значения характеризуют диспер­сию (разброс) по факторам.

Метод главных факторов. Дня опреде­ления числа факторов используются раз­личные статистические критерии, при помощи которых проверяется гипотеза о незначительности матрицы корреляцион­ных остатков.

Метод максимального правдоподобия (Д. Лоли), в отличие от предыдущего, ос­новывается не на предварительной оценке общностей, а на априорном определении числа общих факторов и в случае большой выборки позволяет получить статистичес­кий критерий значимости полученного факторного решения.

Метод минимальных остатков (Г. Хар­ман) основан на минимизации внедиаго-нальных элементов остаточной корреляци­онной матрицы; проводится предваритель­ный выбор числа факторов.

Альфа-факторный анализ был разрабо­тан специально для изучения психологи­ческих данных; выводы носят в основном психометрический, а не статистический характер; минимальное количество общих факторов оценивается по собственным значениям и коэффициентам общности. Факторизация образов, в отличие от клас­сического ФА, предполагает, что обшность каждой переменной определяется как линей­ная регрессия всех остальных переменных.

Перечисленные методы отличаются по способу поиска решения основного урав­нения ФА. Выбор метода требует большого опыта работы. Однако некоторые иссле­дователи используют сразу несколько ме­тодов, выделенные же во всех методах факторы считают наиболее устойчивыми.

Третий этап — это «поворот» факторов в пространстве для достижения простой структуры, в которой каждая переменная характеризуется преобладающим влиянием какого-то одного фактора. Выделяются два класса вращения: ортогональное и косо­угольное. К ортогональным методам отно­сятся методы «Vary max» (Kaiser, I958) — максимизируется разброс квадратов фак­торных нагрузок по каждому фактору в отдельности, что приводит к увеличению больших нагрузок и уменьшению — ма-

7.2. Математическая психолог

леньких. «Quartymax» — простая струк­тура; в отличие от предыдущего метода формируется для всех факторов одновре­менно. В некоторых случаях важнее полу­чить простую структуру, чем сохранить орто­гональность факторов. Для достижения этого используются аналогичные методы косоугольного поворота: «Oblymin» и «Oblymax».

Все описанные выше модели ФА отно­сятся к эксплораторному (поисковому) ФА. Настоящим переворотом в ФА было изобретение копфирматорного (подтверж­дающего) КФА. Основной принцип КФА. в качестве гипотезы формируется струк­тура ожидаемой матрицы факторных на­грузок (весов), которая затем наклады­вается на заданную корреляционную матрицу. Гипотеза подвергается статис­тической проверке, и постепенно иссле­дователь приходит к соответствующей экспериментальным данным матрице на­грузок, не прибегая к вращению факторов. Однако гипотеза должна основываться на серьезном анализе природы изучаемых переменных и лежащих в их основе фак­торов. Часто для этого проводится пред­варительно эксплораторный ФА. В качест­ве математического аппарата в данной модели используется моделирование с по­мощью линейных структурных уравнений.

Данный подход предполагает априор­ное формулирование гипотез относительно количества латентных и измеряемых пере­менных, а также их взаимосвязи. Можно выделить следующие этапы:

составляется диаграмма путей, представ­ляющая собой графы, в которых присутст­вуют измеряемые и латентные переменные, соединенные стрелками (направлены в сто­рону влияний);

строятся системы уравнений множест-веной регрессии; их количество соответ­ствует количеству зависимых переменных;

проверяется соответствие предложенной модели (системы уравнений) эмпиричес­ким данным;

осуществляется перебор моделей на данных одной выборки.

Метод КФА позволяет оценить валид-ность тестов (конструктную, дискрими-нантную, конвергентную). Использование множества индикаторов для каждого латентного конструкта дает возможность представить степень, с которой каждая переменная объясняет латентную перемен­ную. Остаточная дисперсия обусловлена случайными флуктуациями. С помощью параметров измерительной модели оп­ределяется внутренняя согласованность теста, по которой можно говорить об уровне надежности измерения. В программе LISREL надежность измеряемых перемен­ных представляется в виде множественных корреляций этих переменных с латентными конструктами (P. Bentler. 1982, 1992; D. Cole, 1987). Моделирование с помощью латент­но-структурных уравнений позволяет также проводить анализ данных лонгитюд-ного исследования с множественными индикаторами (К. Joreskog, 1979, 1988).

Модель латентных классов

Все модели латентных структур пред­полагают локальную независимость харак­теристик. То есть для данной латентной характеристики наблюдаемые переменные независимы в смысле теории вероятностей.

В основе модели лежит формула Бэйеса, которая связывает априорную вероятность с апостериорной.

Общая методология сводится к введе­нию в модель (в качестве исходных дан­ных) априорной плотности распределения параметров и последующему нахождению по формуле Бэйеса (с учетом эксперимен­тальных данных) их апостериорной плот­ности распределения. Априорно задаются две латентные характеристики: количество классов (К) и соответствующее им отно­сительное число испытуемых в классе — P(k), а также параметр, позволяющий ус­танавливать степень вероятности опреде-леного ответа на i-й вопрос при условии, что испытуемый относится к k-му классу — r(k). Априорное задание этих латентных характеристик соответствует гипотезе ис­следователя либо задается стандартными способами.

Вероятность появления 1-го профиля

P_i=I(P(k)r,(k).

По формуле Бэйеса вычисляется апос­териорная (с учетом реальных профилей