Сферические координаты

В результате гониометрического измерения кристалла для каждой его грани получаются две сферические координаты φ и ρ. При проектировании методом стереографических проекций все направления в кристалле (нормали к граням, рёбра и др.) продолжаются до пересечения со сферой. Такая операция приводит к ряду точек. Расположенных на шаре проекций. В географии и астрономии расположение любой точки на глобусе фиксируется сферическими координатами – широтой и долготой. С этой целью поверхность глобуса покрывается сетью дуг - меридианов и параллелей, с помощью которых можно сосчитать градусы, соответствующие широтам и долготам. Этот же приём применяется в кристаллографии. На поверхность шара проекций наносится сеть вспомогательных меридианов и параллелей. Пользуясь такой сетью, для каждой точки на сфере находим две координаты (рис. 7).

Рис.7. Определение сферических координат φ и ρ грани А.

Одна из них (φ) соответствует графической долготе. Для её измерения один из меридианов на шаре принимается за нулевой. Долготу определяет угол между плоскостями нулевого меридиана и меридиана, проходящего через заданную точку. Долгота измеряется числом градусов, заключенных между двумя названными меридианами, посредством любой параллели (в частном случае экватора). Отсчёты долгот φ берутся по вертикальному лимбу гониометра. Вторая координата (ρ), полярным расстоянием, соответствует угловому расстоянию (числу градусов), заключённому между полюсом шара и заданной точкой. Эта координата отсчитывается по дуге большого круга (меридиану), проходящего через полюс, и упомянутую точку. На кристалле координата для некоторой грани является углом между характерным направлением, совмещённым с горизонтальной осью ρ гониометра,и нормалью к данной грани. Относительно географической широты полярное расстояние является дополнительным углом до 90^о. Отсчёты полярных расстояний ρ берутся по горизонтальному лимбу гониометра. Найденные при помощи гониометра сферические координаты φ и ρ для каждой грани наносятся на специальные сетки. Эти сетки. Представляя стереографические проекции меридианов и параллелей, соответствуют географическим картам полушарий. Если точку зрения поместить в один из полюсов и проектировать все меридианы и параллели на плоскость экватора, получим простейшую сетку, изображённую на (рис. 8).

Рис.8. Стереографические проекции меридианов и параллелей.

Поместив точку зрения на экваторе и проектируя дуги меридианов и параллелей на плоскость меридиана, перпендикулярную к прямой, соединяющей точку зрения с центром проекций, получим сетку Вульфа (рис. 9).

Рис. 9. Сетка Вульфа. Радиус сетки 10 см.

Рассмотрим рис.10: Угол между вертикальной осью проекций NS и проектируемым направлением ОА соответствует полярному расстоянию ρ.Следовательно, угол ОSa = ρ /2 ( а -стереографическая проекция направления ОА на плоскости проекций Q). Отсюда, приняв радиус шара проекций за единицу, находим, что расстояние точки а от центра проекций О равно: Оа = tg ρ /2.

Рис.10.Стереографическая проекция направления ОА

на плоскости проекций Q.

Теперь перейдём непосредственно к сетке Вульфа. Вычерчиваем окружность радиусом 10 см и проводим два взаимно перпендикулярных диаметра – горизонтальный и вертикальный. (рис.11).

Далее делим внешний круг на равные части (на рисунке деления проведены через 30^о; на подлинной сетке Вульфа – через 2^о). Деление двух диаметров на необходимые интервалы может быть осуществлено путем следующего построения. Соединим прямыми нижнюю точку вертикального диаметра с точками внешнего круга 180, 210, 240, 270, 300, 330 и 0^о.

Рис. 11. Построение сетки Вульфа.

Далее делим внешний круг на равные части (на рисунке деления проведены через 30^о; на подлинной сетке Вульфа – через 2^о). Деление двух диаметров на необходимые интервалы может быть осуществлено путем следующего построения. Соединим прямыми нижнюю точку вертикального диаметра с точками внешнего круга 180, 210, 240, 270, 300, 330 и 0^о. При этом горизонтальный диаметр в точках 90, 60, 30, 60 и 90^о разделится проведёнными прямыми на неравные части. Затем проводим через оба конца вертикального диаметра – точки 90 и 270^о, которыми будут изображаться полюсы сетки Вульфа, и точки на горизонтальном диаметре 90, 60, 30, 0, 30, 60 и 90^о-круговые дуги (построение окружностей по трём точкам). Найденные дуги и являются искомыми стереографическими проекциями меридианов сетки Вульфа. Таким же образом строятся и проекции параллелей. С этой целью точку 0^о соединяем прямыми с точками внешнего круга 90, 120, 150, 180, 210, 240 и 270^о. В результате вертикальный диаметр также разделится этими прямыми на неравные части. Круговые дуги, проведённые через найденные таким путём на вертикальном диаметре точки и соответственные точки, лежащие на круге проекций и являются искомыми стереографическими проекциями параллелей (одна из них показана на рисунке). Удачно выбранный размер сетки (радиус 10 см) и цена делений (2^о) обеспечили ей широкое распространение во всём мире при решении кристаллографических задач.