2015-05-12
1155
Данную фигуру представляем состоящей из трех простых фигур: 1 – прямоугольник, 2 – круга, 3 – треугольника.
Площади кругового и треугольного отверстий вводим в расчет со знаком минус, а площадь прямоугольника – без учета имеющихся в нем отверстий.
Площади простых фигур:
, где совпадающая с осью симметрии высота треугольника 
Фигура имеет ось симметрии, следовательно, е центр тяжести лежит на этой оси. Совмещаем координатную ось х с осью симметрии, а начало координат – с левым краем фигуры (чтобы координаты центров тяжести оказались положительными).
Координаты центра тяжести простых фигур: 
, х 2=8см, х 3=31-6-12/3=21см, где 12/3 – расстояние от центра тяжести треугольника до его основания, равное 1/3 высоты.
Координата центра тяжести заданной фигуры
Ответ: 16,7 см
Произвольная пространственная система сил
Если силы, действующие на тело, лежат в пространстве, то такая система сил называется пространственной, и если главный вектор и главный момент системы равны нулю, то система сил уравновешенная.
|
|
|
Следовательно, необходимые и достаточные условия равновесия пространственной системы будут R = 0, M = 0 - в векторной форме. Так как при равновесии главный момент нравен нулю относительно любого центра приведения, то вместо 
можно писать М без индекса.
Спроектировав главный вектор R на координатные оси Оx, Оy, Оz получим аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил, которые выражаются шестью уравнениями равновесия и
(28)
и формулируется так: произвольная пространственная система сил находится в равновесии, если сумма проекций сил на каждую из координатных осей и сумма моментов всех сил относительно осей координат равны нулю.
При решении необходимо рассмотреть связи, которые до сих пор не встречались нам.
Подпятник (рис.38) - это тип опоры не препятствующий повороту тела или какой-либо его детали вокруг своего центра, но препятствующий смещению тела в любом направлении, поэтому для такого типа опоры не известны ни величина реакции, ни образуемые его с координатами осями углы, а известна только точка приложения реакции.
Рис. 38
Такую реакцию можно представить составляющими, направленными в положительных направлениях трех осей координат (отрицательный знак, полученный при решении уравнения равновесия, покажет, что в действительности та или иная составляющая опорной реакции направлена в противоположную выбранному направлению сторону).
В большинстве задач требуется определить не реакцию, а ее составляющие, сама реакция определяется как диагональ прямоугольного параллепипеда, построенного на составляющих X, Y, Z как на сторонах.
|
|
|
.
Направление реакции можно определить по направляющим косинусам
,
, (29)
.
Подлинник (рис.39) - это цилиндрический шарнир, позволяющий телу или его элементу (например, валу, оси и т.д.) поворачиваться вокруг своей оси, смещаться вдоль нее, но не позволяющему перемещаться в перпендикулярной плоскости к его оси, следовательно, реакция подшипника может быть расположена только в плоскости, перпендикулярной к его оси. Зная в этой плоскости только точку приложения реакции и не зная угла, образуемого его с какой-либо находящейся в этой плоскости осью, представляем реакцию двумя составляющими, направленными в положительные стороны координатных осей, расположенных в этой плоскости. Сама реакция R может быть определена как равнодействующая определенных составляющих Z и Y.
Рис.39
. (30)
Направление ее может быть найдено по формулам:
, (31)
.
Порядок (план) решения задач.
1. Установить, равновесие какого тела нужно рассмотреть, чтобы определить неизвестные величины.
2. Выбрать начало координат и положения координатных осей.
3. Установить, какие активные силы действуют на тело.
4. Освободившись от связей, наложенных на рассматриваемую систему, заменить действие связей силами реакций связей.
5. Составить соответствующие уравнения равновесия.
6. Решая уравнения равновесия, определить неизвестные величины.
7. Найдя знаки неизвестных сил, установить их фактические направления.
Рис.40
Рассмотрим сначала методику определения проекций силы на оси координат и моментов ее относительно этих осей. Пусть по внутренней диагонали куба (рис.40) действует сила F. Определим проекции силы F на оси координат и моменты ее относительно осей. Чтобы найти проекции силы на ось координат, необходимо применить метод двойного проектирования, который заключается в том, что сначала сила проецируется на плоскость, включающую данную ось, а затем уже эта проекция проецируется на данную ось. Так, чтобы определить проекцию силы F на ось Х, необходимо сначала спроецировать ее на плоскость ХOY, а уже затем на ось ординат. В результате получим, что
где 
;
Отсюда 
Знак минус показывает, что направление проекции противоположно положительному направлению оси Х. Аналогично,
где 
Отсюда 
Проекция силы F на ось Z определяется как
,
где 
Отсюда 
Итак, убеждаемся, что сила направлена на внутренней диагонали куба, то проекция силы на все оси одинаковы.
При определении момента силы относительно оси координат необходимо помнить, что он равен произведению проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси на перпендикуляр, опущенный из точки пересечения оси с плоскостью на линию действия проекции силы. Знак момента будет положительным, если, посмотрев с положительного направления оси координат увидим вращение плоскости под действием проекции против часовой стрелки и, наоборот, отрицательный если это вращение совпадает с вращением стрелки часов.
Рис.41
Так, момент силы F (рис.41) относительно оси Z будет равен произведению проекции силы F на плоскость Q, перпендикулярную оси Z, на перпендикуляр, опущенный из точки О пересечения оси с этой плоскостью на линию действия проекции силы 
. Итак
.
Знак момента положительный, так как вокруг оси Z плоскость Q под действием проекции , если смотреть с положительного направления оси Z, вращается против часовой стрелки. Момент силы относительно оси координат будет равен 0, когда сила параллельна этой оси или пересекает ее.
Рис.42
Так, в примере (рис.42) сила F пересекает ось Y, следовательно, ее момент относительно Y равен нулю. Момент силы F относительно оси X будет произведение проекции силы на плоскость перпендикулярную оси Х (плоскость ZOY) на перпендикуляр, опущенный из точки О, пересечения оси Х с плоскостью ZOY на линию действия проекции силы на эту плоскость:
|
|
|
,
где 
, 
,
откуда
Знак (-) показывает, что плоскость ZOY под действием проекции 
вокруг оси Х вращается по часовой стрелке. Аналогично
Учитывая, что
,
,
,
где x, y, z - координаты точки приложения силы,
X, Y, Z - проекции силы на соответствующие оси.
Координаты точки А (а, 0, а).
Проекции силы 
Подставляя, проверим результаты наших рассуждений:
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО СТАТИКЕ
1.1. Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С действует вертикальная сила 
.
Определить усилия в стержнях, если углы между ними и стеной равны α и β.
Дано: , 
, 
.
Найти: SAC, SBC.
Решение: Расставим на рисунке все силы, приложенные к точке C. Проведем горизонтальную ось ОХ и вертикальную ось ОУ. Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OX:
,
Откуда выразим величину 
:
.
Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OY:
,
Откуда выразим величину 
:
.
Тогда величина :
.
1.2. Стержни 
и 
соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт 
действует вертикальная сила .
Определить усилия в стержнях, если углы между ними и стеной равны α и β.
Дано: , , 
.
Найти , .
Решение: Расставим на рисунке все силы, приложенные к точке . Проведем горизонтальную ось 
и вертикальную ось 
. Рассмотрим равновесие точки в проекции на ось :
,
Откуда величина 
, так как 
.
Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OY:
,
Откуда выразим величину , равную :
.
1.3. Стержни и соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт действует вертикальная сила .
Определить усилия в стержнях, если углы между ними и стеной равны α и β.
Дано: , 
, .
Найти , .
Решение: Расставим на рисунке все силы, приложенные к точке . Проведем горизонтальную ось и вертикальную ось . Рассмотрим равновесие точки в проекции на ось :
,
Откуда величина 
, так как .
Рассмотрим равновесие точки в проекции на ось :
|
|
|
,
Откуда выразим величину :
,
Тогда величина 
:
.
1.4. Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С действует вертикальная сила .
Определить усилия в стержнях, если углы между ними и стеной равны α и β.
Дано: , 
, 
.
Найти: , .
Решение: Расставим на рисунке все силы, приложенные к точке C. Проведем горизонтальную ось ОХ и вертикальную ось ОУ. Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OX:
,
Откуда выразим величину :
.
Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OY:
,
Откуда выразим величину :
.
Тогда величина :
.
1.5. Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С действует вертикальная сила .
Определить усилия в стержнях, если углы между ними и стеной равны 
и 
.
Дано: , , 
.
Найти: , .
Решение: Расставим на рисунке все силы, приложенные к точке C. Проведем горизонтальную ось ОХ и вертикальную ось ОУ. 
Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OY:
,
Откуда выразим величина :
.
Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OX:
,
Откуда выразим величину :
.
1.6. Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С действует вертикальная сила .
Определить усилия в стержнях, если углы между ними и стеной равны α и β.
Дано: , 
, .
Найти: , .
Решение: Расставим на рисунке все силы, приложенные к точке C. Проведем горизонтальную ось ОХ и вертикальную ось ОУ. Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OX:
,
Откуда выразим величину :
.
Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OY:
,
.
Откуда выразим величину :
.
Тогда величина :
.
1.7. Стержни и соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт действует вертикальная сила .
Определить усилия в стержнях, если углы между ними и стеной равны α и β.
Дано: , , .
Найти , .
Решение: Расставим на рисунке все силы, приложенные к точке . Проведем горизонтальную ось и вертикальную ось . Рассмотрим равновесие точки в проекции на ось :
,
Откуда величина равна так как 
:
Рассмотрим равновесие точки в проекции на ось :
,
Откуда выразим величину равную :
.
1.8. Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С действует вертикальная сила .
Определить усилия в стержнях, если углы между ними и стеной равны и .
Дано: , , 
.
Найти: , .
Решение: Расставим на рисунке все силы, приложенные к точке C. Проведем горизонтальную ось ОХ и вертикальную ось ОУ. Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OX:
,
Откуда выразим величину :
.
Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OY:
,
.
Откуда выразим величину :
.
Тогда величина :
.
1.9. Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С действует вертикальная сила .
Определить усилия в стержнях, если углы между ними и стеной равны и .
Дано: , , .
Найти: , .
Решение: Расставим на рисунке все силы, приложенные к точке C. Проведем горизонтальную ось ОХ и вертикальную ось ОУ. Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OY:
,
Откуда выразим величина :
.
Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OX:
,
Откуда выразим величину :
.
1.10. Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С действует вертикальная сила .
Определить усилия в стержнях, если углы между ними и стеной равны α и β.
Дано: , , .
Найти: , .
Решение: Расставим на рисунке все силы, приложенные к точке C. Проведем горизонтальную ось ОХ и вертикальную ось ОУ. Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OX:
,
Откуда выразим величину :
.
Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OY:
,
Откуда выразим величину :
.
Тогда величина :
.
1.11. Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С действует вертикальная сила .
Определить усилия в стержнях, если углы между ними и стеной равны α и β.
Дано: , , 
.
Найти: SAC, SBC.
Решение: Расставим на рисунке все силы, приложенные к точке C. Проведем горизонтальную ось ОХ и вертикальную ось ОУ. Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OY:
,
Откуда выразим величина :
.
Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OX:
,
Откуда выразим величину :
.
1.12. Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С действует вертикальная сила .
Определить усилия в стержнях, если углы между ними и стеной равны α и β.
Дано: , 
, .
Найти: SAC, SBC.
Решение: Расставим на рисунке все силы, приложенные к точке C. Проведем горизонтальную ось ОХ и вертикальную ось ОУ. Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OY:
,
Откуда выразим величину:
.
Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OX:
,
Откуда выразим величину :
.
Тогда величина :
.
1.13. Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С действует вертикальная сила .
Определить усилия в стержнях, если углы между ними и стеной равны α и β.
Дано: , , .
Найти: SAC, SBC.
Решение: Расставим на рисунке все силы, приложенные к точке C. Проведем горизонтальную ось ОХ и вертикальную ось ОУ. Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OY:
,
Откуда выразим величину:
.
Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OX:
,
Откуда выразим величину :
.
Тогда величина :
.
1.14. Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С действует вертикальная сила 
.
Определить усилия в стержнях, если углы между ними и стеной равны и .
Дано: , 
, .
Найти: , .
Решение: Расставим на рисунке все силы, приложенные к точке C. Проведем горизонтальную ось ОХ и вертикальную ось ОУ. 
Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OY:
,
Откуда выразим величину :
.
Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OX:
,
Откуда выразим величину :
.
Тогда величина :
.
1.15. Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С действует вертикальная сила .
Определить усилия в стержнях, если углы между ними и стеной равны и .
Дано: , , 
.
Найти: SAC, SBC.
Решение: Расставим на рисунке все силы, приложенные к точке C. Проведем горизонтальную ось ОХ и вертикальную ось ОУ. 
Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OY:
,
Откуда выразим величину:
.
Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OX:
,
Откуда выразим величину :
.
Тогда величина :
.
1.16. Груз весом 
подвешен к концу стержня 
, который удерживается под углом к горизонту при помощи троса . Угол между тросом и стержнем равен .
