Понятие логарифма

1 2 3

Тема 3.2. Логарифмы и их свойства. Преобразование и вычисление логарифмических выражений (4часа)

Понятие логарифма.

Задача 1. Найти положительный корень уравнения .

По определению арифметического корня имеем .

Задача 2. Решить уравнение .

Запишем данное уравнение так: , откуда .

В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 – показатель степени.

Способ решения второй задачи состоял в том, что левую и правую части уравнений удалось представить в виде степени с одним и тем же основанием 3. Но уже, например, уравнение таким способом решить не удается. Однако это уравнение имеет корень. Чтобы решать такие уравнения, вводится новое понятие - логарифм. Чуть забегая вперед, скажем, что корень уравнения обозначается символом .

Остановимся теперь на понятии логарифма числа. Очень часто приходится решать задачу: известно, что ; необходимо найти показатель степени х, т.е. решать задачу, обратную возведению в степень. При нахождении этого показателя степени х и возникает понятие логарифма числа b по основанию a. (). Дадим точное определение.

Определение. Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от единицы основанию a, называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.

Например, так как ; так как ; так как ; так как .

Определение логарифма можно кратко записать так: . Это равенство справедливо при . Его называют основным логарифмическим тождеством.

Например, , .

Операция нахождения логарифма числа называют логарифмированием. Операция логарифмирования и возведение в степень с соответствующим основанием взаимообратны по отношению друг к другу, т.к. и - одна и та же зависимость между числами .