Логарифмическая функция, ее свойства и график

В математике и ее приложениях часто встречается логарифмическая функция , где -заданное число, .

Свойства логарифмической функции:

1⁰. . (Это свойство следует из определения логарифма, так как выражение имеет смысл только при )

2⁰. . (это следует из того, что для любого действительного числа b есть такое положительное число х, что , т.е уравнение имеет корень. Такой корень существует и равен , так как )

3⁰. Логарифмическая функция является возрастающей на промежутке , если , и убывающей, если .

[[ Пусть . Докажем, что если , то , т. е. . Пользуясь основным логарифмическим тождеством, условие можно записать так: . Из этого неравенства по свойству степени с основанием следует, что .

Пусть . Докажем, что если , то . Записав условие условие в виде получим , т.к. .]]

Отметим, что справедливы и следующие два утверждения: если и , где , , то ; если и, то , где , , то

4⁰. Если , то функция принимает положительные значения при , отрицательные при . Если , то функция принимает положительные значения при , отрицательные при .

[[Это следует из того, что функция принимает значение, равное нулю, при и является возрастающей на промежутке , если и убывающей, если ]].

Из рассмотренных свойств логарифмической функции следует, что ее график расположен правее оси Оу и имеет вид, указанный на рисунке.

Отметим, что график любой логарифмической функции проходит через точку . При решении уравнений часто используется следующая теорема:

ТЕОРЕМА. Если , где , , , то .

Задача 1. Решить уравнение .

Решение. Используя доказанную теорем, получаем , откуда .

Ответ: {3}.

Задача 2. Решить неравенство .

Решение. Пользуясь тем, что , запишем данное неравенство в виде .Так как функция определена при и возрастает, то неравенство выполняется при и .

Ответ: .

Логарифмическая функция и показательная функция , где взаимно обратны.

[[Решая уравнение относительно получаем ; меняя местами , имеем .]]

Задача 3. Построить график функции .

Решение. График данной функции получается из графика функции по следующей схеме: .

Задача 4. Является ли функция четной или нечетной?

Решение.

ООФ:

Таким образом, область определения данной функции симметрична относительно начала координат.

Далее, для любого х справедлива следующая цепочка равенств:

Так как область определения данной функции симметрична относительно начала координат и , то функция является нечетной.