2015-05-13
1387
В математике и ее приложениях часто встречается логарифмическая функция 
, где 
-заданное число, 
.
Свойства логарифмической функции:
10. 
. (Это свойство следует из определения логарифма, так как выражение 
имеет смысл только при 
)
20. 
. (это следует из того, что для любого действительного числа b есть такое положительное число х, что 
, т.е уравнение 
имеет корень. Такой корень существует и равен 
, так как 
)
30. Логарифмическая функция является возрастающей на промежутке , если 
, и убывающей, если 
.
[[ Пусть . Докажем, что если 
, то 
, т. е. 
. Пользуясь основным логарифмическим тождеством, условие 
можно записать так: 
. Из этого неравенства по свойству степени с основанием следует, что .
Пусть . Докажем, что если , то 
. Записав условие условие в виде получим 
, т.к. .]]
Отметим, что справедливы и следующие два утверждения: если 
и , где 
, 
, то 
; если 
и, то , где 
, , то 
40. Если , то функция принимает положительные значения при 
, отрицательные при 
. Если , то функция принимает положительные значения при 
, отрицательные при 
.
[[Это следует из того, что функция принимает значение, равное нулю, при 
и является возрастающей на промежутке 
, если и убывающей, если ]].
Из рассмотренных свойств логарифмической функции 
следует, что ее график расположен правее оси Оу и имеет вид, указанный на рисунке.
Отметим, что график любой логарифмической функции проходит через точку 
. При решении уравнений часто используется следующая теорема:
ТЕОРЕМА. Если 
, где , , , то 
.
Задача 1. Решить уравнение 
.
Решение. Используя доказанную теорем, получаем 
, откуда 
.
Ответ: {3}.
Задача 2. Решить неравенство 
.
Решение. Пользуясь тем, что 
, запишем данное неравенство в виде 
.Так как функция определена при и возрастает, то неравенство 
выполняется при и 
.
Ответ: 
.
Логарифмическая функция и показательная функция 
, где взаимно обратны.
[[Решая уравнение относительно 
получаем 
; меняя местами 
, имеем .]]
Задача 3. Построить график функции 
.
Решение. График данной функции получается из графика функции 
по следующей схеме: 
.
Задача 4. Является ли функция 
четной или нечетной?
Решение.
ООФ: 
Таким образом, область определения данной функции симметрична относительно начала координат.
Далее, для любого х справедлива следующая цепочка равенств:
Так как область определения данной функции симметрична относительно начала координат и 
, то функция является нечетной.
