Показательная функция, ее свойства и график

Вспомним основные свойства степени. Пусть , , - любые действительные числа. Тогда

В практике часто используются функции , ,

, и т.д., т.е. функция вида , где - заданное число, - переменная. Такие функции называются показательными. Это объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени – заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция , где - заданное число, .

Свойства показательной функции:

1⁰. . (Это свойство следует из того, что степень , где , определена для всех )

2⁰. .

3⁰. Показательная функция является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если , и убывающей, если .(следует из свойств 8 и 9).

Построим графики функции и , используя рассмотренные свойства и построив несколько точек, принадлежащих графику.

График функции проходит через точку и расположен выше оси Ох. Если и убывает, то график быстро приближается к оси Ох (но не пересекает его); если и возрастает, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид имеет график любой функции , если .

График функции также проходит через точку и расположен выше оси Ох. Если и возрастает, то график быстро приближается к оси Ох (но не пересекает его); если и убывает, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид имеет график любой функции , если .

Показательная функция часто используется при описании различных физических процессов. Так, радиоактивный распад описывается формулой , где \ - масса радиоактивного вещества в момент времени ; - масса радиоактивного вещества в начальный момент времени , - период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое).

С помощью показательной функции выражается давление воздуха в зависимости от высоты подъема, ток самоиндукции в катушке после включения постоянного напряжения и т. д.

Задача 1. Решить уравнение .

Решение. По свойству 2⁰ показательной функции данное уравнение имеет корень,

т.к. . Одним из корней является число , так как . Других корней нет, так как функция возрастает на всей числовой прямой, и поэтому при и при .

Ответ: .

Задача 2. Сравнить числа и .

Решение. Второе число запишем в виде степени с основанием 2 и получим: . Сначала сравним показатели степеней. Так как , то . Функция является возрастающей. Поэтому большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Тогда имеем: или , т.е. второе число больше.