Краткая теория. Векторное произведение радиуса-вектора , материальной точки на ее импульс , называет

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

Краткая теория

Векторное произведение радиуса-вектора , материальной точки на ее импульс , называется моментом импульса , этой материальной точки относительно точки О:

(4.1)

Вектор , иногда называют также моментом количества движения материальной точки. Он направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через векторы и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из конца , видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от к происходит против часовой стрелки, рис. 4.1,а).

а) б)

Рис 4.1. Наглядное изображение а) момента импульса и б) момента силы

Векторное произведение радиуса-вектора , проведенного в точку приложения силы на эту силу называется моментом силы относительно точки О:

(4.2)

Векторы , и образуют правую тройку (рис. 4.1,б). Численное значение момента силы равно:

(4.2^΄)

где - угол между векторами и , а - длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы . Величина , называется плечом силы . Если линия действия силы проходит через точку О, то 0 и момент силы относительно точки О равен нулю.

Векторная сумма моментов , всех внешних сил, приложенных к телу, называется результирующим, или главным, моментом внешних сил относительно точки О:

(4.3)

Векторная сумма моментов импульса всех материальных точек тела называется моментом импульса (количества движения) тела относительно точки О -

(4.4)

Так как производная от суммы равна сумме производных от всех слагаемых, то

(4.4^΄)

Наконец, векторная сумма моментов относительно точки Овсех внутренних сил взаимодействия между точками тела равна нулю:

(4.5)

На основании соотношении (4.3), (, (4.5) можно записать:

(4.6)

Таким образом, скорость изменения момента импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равна результирующему моменту относительно этой точки всех внешних сил, приложенных к телу. Этот результат называется основным законом динамики вращательного движения тела, закрепленного в одной неподвижной точке. Из него следует, что момент импульса является основной динамической характеристикой тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

Уравнение движения тела получим, спроектировав все члены уравнения (4.6) на ось Оz:

(4.7)

где и - проекции на ось Oz вращения тела векторов момента импульса тела и результирующего момента внешних сил относительно точки О. Они называются, соответственно, моментом импульса тела и результирующим моментом внешних сил относительно оси Oz.

Уравнение (4.7) выражает основной закон динамики для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси: скорость изменения момента импульса тела относительно неподвижной оси вращения равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, действующих на тело.

Из этого закона следует, что основной динамической характеристикой тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, является момент импульса тела относительно этой оси.

Сумма произведений масс всех материальных точек тела на квадраты их расстояний до оси называется моментом инерции тела относительно этой оси. Момент инерции относительно оси Oz равен:

(4.8)

При вычислении момента инерции тела его разбивают на бесконечно большое число бесконечно малых элементов с массами dm. Поэтому в формуле (4.8) сумму заменяют интегралом:

(4.8^΄)

где r - расстояние от элемента dm до оси Oz.

Неподвижная ось вращения может проходить как через центр инерции тела (например, ось вращения маховика, турбины, ротора электродвигателя и т. д.), так и вне его (например, ось вращения самолета, выполняющего мертвую петлю).

Рис. 4.2. К теореме Штейнера

Теорема Штейнера: момент инерции J_z тела относительно любой оси ОО₁ равен сумме момента инерции J_z^’ тела относительно оси O^’O^’₁, проведенной через центр инерции тела С параллельно OO₁, и произведения массы т тела на квадрат расстояния а между этими осями (рис. 4.2):

J_Z = J^’_Z + mа².

(4.9)

Таким образом, с удалением центра инерции тела от его оси вращения момент инерции тела относительно этой оси возрастает. В таблице 1 приведены формулы для вычисления моментов инерции однородных тел простейшей формы.

Таблица 1. Моменты инерций тел

Тело	Положение оси Оz	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R, имеющий массу m	Ось симметрии
Сплошной цилиндр (или диск) радиуса R, имеющий массу m	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень, имеющий длину l и массу m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его середину
Тот же стержень	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец
Шар радиуса R, имеющий массу m	Ось проходит через центр шара
Тот же шар	Ось проходит на расстоянии а от центра шара

Первый закон Ньютона для вращательного движения: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного вращения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Второй закон Ньютона для вращательного движения: под действием момента внешних сил тело приобретает угловое ускорение:

(4.10)

Третий закон Ньютона для вращательного движения: моменты сил, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, всегда равны по модулю

(4.11)

Таблица 2. Связь поступательного и вращательного движений

Динамика поступательного движения	Динамика вращательного движения	Формулы связи
M	J