Второй закон Ньютона
Ускорение w, сообщаемое материальной точке, пропорционально действующей на точку силе F, направлено по этой силе и обратно пропорционально массе точки m
w = F / m или F = m · w.
Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме имеет вид
или в прямоугольной декартовой системе координат при движении точки по прямой линии
Момент инерции.
Момент инерции массы m, находящейся на расстоянии ρ от оси, равен
J = m· ρ2. [кг · м2]
Момент инерции диска относительно оси равен
J = (m·R 2)/2,
где m – масса диска, R – радиус диска.
Момент инерции стержня:
– относительно центральной оси симметрии стержня
J с = (m·l 2)/12;
– относительно конца стержня
J а = (m·l 2)/3,
где m – масса стержня, l – длина стержня.
Момент инерции сплошного круглого цилиндра относительно центральной оси
Jz ц = (m·R 2)/2,
где m – масса цилиндра, R – радиус цилиндра.
Момент инерции полого круглого цилиндра относительно центральной оси
где R – наружный радиус цилиндра; R 0 – внутренний радиус цилиндра.
Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
где φ – угол поворота [рад]; Jz –момент инерции относительно оси вращения; Σ Mz – сумма моментов внешних сил относительно оси вращения.
Работа силы.
Элементарная работа dA силы F на элементарном перемещении ds определяется как
dA = Fτ ds,
где Fτ – проекция силы F на направление элементарного перемещения.
Полная работа силы на перемещении ds от точки 1 до точки 2
Если Fτ является величиной постоянной, то работа сил равна
A = Fτ s,
где s – путь, пройденный точкой.
Работа силы тяжести (G = m·g)
A = m·g·h,
где h – вертикальное перемещение центра тяжести тела.
Работа линейной силы упругости.
Линейная сила упругости растягиваемой пружины по закону Гука равна
F упр = - c·λ,
где с – коэффициент жесткости пружины; λ – удлинение (сжатие) пружины.
Работа линейной силы упругости равна
A = F упр ·λ, или A = - (c·λ2)/2.
Размерность работы дж, [1 дж = 1 Н · м = (кг · м2)/с2].
Мощность силы.
Мощность силы по определению оценивают той работой, которую она может совершить за единицу времени
Или мощность можно представить как скалярное произведение силы на скорость точки
N=F·v.
Размерность мощности определяется равенством
Мощность, равная 1 дж в с, называется ваттом (Вт)
1 Вт = 1 дж/с.
Вследствие малости этой величины, в инженерной практике часто используют кВт (1 кВт = 1000 Вт).
В двигателестроение еще используют внесистемную единицу, называемую лошадиной силой (л.с.)
1 л.с. = 75 кГ · м/с.
Соотношение между лошадиной силой и ваттом определяется исходя из того, что 1 кГ · м = 9,81 дж. Следовательно,
1 л.с. = 75 кГ·м/с = 75 · 9,81 дж/с = 736 Вт = 0,736 кВт,
или 1 кВт = 1,36 л.с.
Кинетическая энергия.
Кинетическая энергия Т точки по определению равна
где m – масса точки; v – скорость точки.
Кинетическая энергия является скалярной положительной величиной. Размерность кинетической энергии совпадает с размерностью работы [(кг · м2)/с = дж].
Кинетическая энергия при поступательном движении твердого тела
Кинетическая энергия при вращении тела вокруг неподвижной оси
где Jz – момент инерции тела относительно оси вращения;
ω – угловая скорость тела.